Colocación de TV!

La segunda ley de Newton a lo largo del eje \({y-} \) para el televisor es:

\begin{equation*}
N-mg=0,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

y para el soporte del televisor:

\begin{equation*}
N_f-mg-Mg=0.
\end{equation*}

La segunda ley de Newton en la dirección \({x-} \) de la TV da:

\begin{equation*}
f_{r_{TS}} = ma,
\end{equation*}

donde \(f_{r_{TS}} = \mu_s N\), entonces:

\begin{equation*}
\mu_s g = a.
\end{equation*}

La segunda ley de Newton en la dirección \({x-} \) del soporte del televisor da:

\begin{equation*}
F_C – f_{r_{TS}} – f_r = Ma,
\end{equation*}

donde \(f_r = \mu_k N_f \) es la fuerza debida a la fricción cinética. Despejando \(F_C \), sustituyendo las otras variables encontradas previamente con algo de álgebra, obtenemos:

\begin{equation*}
F_C = (\mu_s + \mu_f)(mg + Mg),
\end{equation*}

y con valores numéricos:

\begin{equation*}
F_C = 49 \, \text{N}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

 

 

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Mientras Carlos empuja el soporte, la fricción estática entre el soporte y el televisor permite que el televisor se mueva junto con el soporte. Esto significa que la fricción estática entre el soporte y el televisor permite que el televisor se mueva con la misma aceleración que el propio soporte. Sin embargo, si Carlos empuja el soporte con mucha fuerza, podría hacer que la fricción estática entre el televisor y el soporte ya no sea capaz de darle al televisor la misma aceleración que el soporte. En ese caso, el televisor seguirá moviéndose en la misma dirección que el soporte pero con menos aceleración, por lo que el televisor comenzará a deslizarse sobre el soporte.

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Entonces, para encontrar la fuerza máxima que Carlos puede ejercer sobre el soporte de manera que el televisor no se deslice, tenemos que averiguar cuál es la aceleración máxima que se puede dar debido a la la fricción estática producida por el soporte sobre el televisor. Esa aceleración máxima será entonces la aceleración máxima que Carlos puede dar al soporte para que el televisor y el soporte se muevan juntos (con la misma aceleración).

Como con todos los problemas de fuerza, comencemos por hacer un diagrama de cuerpo libre. Aquí, es conveniente utilizar un sistema de coordenadas donde la dirección de movimiento del soporte es el eje X positivo. Sobre el soporte hay tres fuerzas en el eje X. Uno es la fuerza de Carlos, que es positiva. La otra fuerza es la fricción dinámica entre el suelo y el soporte, que es negativa ya que resiste la dirección de movimiento del soporte con respecto al suelo. Pero el televisor también ejerce una fuerza de fricción sobre el soporte (que es estática), que se opone al movimiento del soporte con respecto al televisor y, por lo tanto, apunta en la dirección X negativa. A lo largo de Y, hay tres fuerzas sobre el soporte; su peso, que es negativo en Y, la normal que ejerce el piso, que es positiva en Y, y la normal que ejerce el televisor, que es negativa en Y. Observe la figura 1.

Figura 1: diagrama de cuerpo libre para el soporte del televisor, las fuerzas que se muestran son: el peso del soporte \(W_S \), la fricción ejercida por el piso \(f_r \), la fricción ejercida por el televisor \(f_{rST}\), la fuerza de contacto con el suelo \(N_f \), la fuerza de contacto ejercida por el televisor \(N_{TS}\), y la fuerza ejercida por Carlos \(F_C \). El eje de coordenadas se elige con X a lo largo de la horizontal y el eje Y a lo largo de la vertical.

Sobre el televisor, hay dos fuerzas en Y, la normal ejercida por el soporte, que es positiva en Y, y el peso, que es negativo en Y. Además, hay una fuerza a lo largo de X, que es la fricción estática que el soporte ejerce sobre la televisión. Esta fuerza apunta en la dirección X positiva porque es la fuerza que permite que el televisor se mueva junto con el soporte como se muestra en la figura 2. Otra forma de ver esto es, dado que el televisor ejerce una fuerza de fricción sobre el soporte en la dirección X negativa, el soporte debe ejercer una fuerza de fricción sobre el televisor en la dirección positiva, debido a la tercera ley de Newton.

Figura 2: diagrama de cuerpo libre para el televisor con las siguientes fuerzas: la fuerza de contacto ejercida por el soporte del televisor \(N \), el peso \(W \) y la fricción ejercida por el soporte del televisor \(f_{rST} \).

Ahora podemos escribir la segunda ley de Newton a lo largo de X para el televisor. Es:

\begin{equation}
f_{r_{TS}} \, \hat{\textbf{i}} = m a \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Como explicamos antes, nos interesa encontrar la máxima aceleración que la fricción estática puede darle al televisor. Por lo tanto, nos interesa la fricción estática máxima, que siempre viene dada por \(\mu_s N \), donde \(\mu_s \) es el coeficiente de fricción estática y \(N \) es la fuerza normal. Por lo tanto, la ecuación convierte en

\begin{equation}
{\mu_s N} \, \hat{\textbf{i}} = m a \, \hat{\textbf{i}}.
\label{CarlosTV_fuerzas}
\end{equation}

Ahora, para encontrar la fuerza normal, podemos usar la segunda ley de Newton a lo largo de Y. Dado que el televirsor no se mueve en la dirección Y, la aceleración en Y es cero y obtenemos

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} -W \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Por lo tanto,

\begin{equation}
N = mg,
\label{CarlosTV_normalTV}
\end{equation}

donde usamos que \( W = mg \) y nos enfocamos solo en las magnitudes. Entonces podemos usar esto en la ecuación \eqref{CarlosTV_fuerzas}. Esto, finalmente, nos da la máxima aceleración que puede tener el televisor debido a la fricción estática en términos de variables conocidas.

\begin{equation}
\mu_s mg = ma.
\label{CarlosTV_aceleracionTV1}
\end{equation}

Después de cancelar la masa, obtenemos

\begin{equation}
\mu_s g = a.
\label{CarlosTV_aceleracionTV}
\end{equation}

Ahora bien, como explicamos anteriormente, esta aceleración del televisor es la máxima que también puede tener ese soporte (si el soporte tiene una mayor aceleración, entonces el televisor se deslizará). Escribamos la segunda ley de Newton para el soporte en la dirección X. Es

\begin{equation}
F_C \, \hat{\textbf{i}} – f_{{ST}} \, \hat{\textbf{i}} – f_r \, \hat{\textbf{i}} = M a \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(F_{ST}\) es la fuerza de fricción estática que ejerce el televisor sobre el soporte, \(f_r \) es la fuerza de fricción dinámica que el piso ejerce sobre el soporte, \(M \) es la masa del soporte y \(F_C \) es la fuerza que utiliza Carlos para empujar el soporte (esta es el que estamos buscando). Según la tercera ley de Newton, \(F_{ST} \) debe ser de la misma magnitud que la fuerza que ejerce el soporte sobre el televisor, es decir, \(\mu_s N \). Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
F_C \, \hat{\textbf{i}} – {\mu_s N} \, \hat{\textbf{i}} – f_r \, \hat{\textbf{i}} = M a \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Además, \(F_r \) es la fuerza cinética de fricción que el piso ejerce sobre el soporte, que viene dada por \(\mu_f N_f\) (aquí \(N_f \) es la normal ejercida por el piso sobre el soporte). Por lo tanto, obtenemos

\begin{equation}
F_C \, \hat{\textbf{i}} – \mu_s N \, \hat{\textbf{i}} – {\mu_f N_f} \, \hat{\textbf{i}} = M a \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Finalmente, la aceleración del soporte es la misma que la aceleración del televisor, que viene dada por la ecuación \eqref{CarlosTV_aceleracionTV} de arriba. Por tanto, finalmente obtenemos la siguiente ecuación

\begin{equation}
F_C \, \hat{\textbf{i}} – \mu_s N \, \hat{\textbf{i}} – \mu_f N_f \, \hat{\textbf{i}} = M \mu_s g \, \hat{\textbf{i}}.
\label{CarlosTV_fuerzasXStand}
\end{equation}

Además de la fuerza de Carlos, la única otra variable que no conocemos aquí es \(N_f \), pero podemos obtenerla de las ecuaciones de fuerza en Y:

\begin{equation}
N_f \, \hat{\textbf{j}} – N_{TV} \, \hat{\textbf{j}} – W_s \, \hat{\textbf{j}} = 0,
\end{equation}

ya que la aceleración es cero en la dirección Y. Aquí, \(N_{TV} \) es la fuerza normal del televisor, que según la tercera ley de Newton es igual en magnitud a la fuerza normal que ejerce el soporte sobre el televisor, y que encontramos que era \(mg \) anteriormente (ecuación \eqref{CarlosTV_normalTV} ), y \(W_s \) es el peso del soporte, que es \(Mg \). Así, obtenemos, después de enfocarnos en las magnitudes,

\begin{equation}
N_f = mg + Mg
\label{CarlosTV_normalStand}
\end{equation}

Usando esto en la ecuación \eqref{CarlosTV_fuerzasXStand} y centrándonos en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
F_C – \mu_s {(mg)} – \mu_f {(mg + Mg)} = M \mu_s g.
\end{equation}

Finalmente, movamos todos los términos a la derecha excepto la fuerza de Carlos:

\begin{equation}
F_C = mg( \mu_s + \mu_f) + Mg \mu_s + Mg\mu_f
\end{equation}

Tome el factor común de \(Mg \):

\begin{equation}
F_C = mg( \mu_s + \mu_f) + Mg (\mu_s + \mu_f),
\end{equation}

que es lo mismo que

\begin{equation}
F_C = ( \mu_s + \mu_f)(mg + Mg).
\end{equation}

Entonces podemos reemplazar los valores numéricos de las diferentes cantidades:

\begin{equation}
F_C = \bigg( {(0.8)} + {(0.2)}\bigg)\bigg({(4\; \text{kg})} {(9.8\; \text{m/s}^2)} + {(1\; \text{kg})} {(9.8\; \text{m/s}^2)}\bigg).
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
F_C = 49 \, \text{N}.
\end{equation}

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