¡Tres Esferas Móviles!

a) Use la definición de energía cinética para cada objeto.

b) Utilice la definición de velocidad del centro de masa donde velocidad de cada objeto.

c) Use la definición de energía cinética y use el resultado encontrado en b) para la velocidad del centro de masa.

d) La diferencia entre la velocidad de cada partícula y la velocidad del centro de masa es la velocidad relativa de cada partícula. Con estas velocidades relativas, encuentre la energía cinética del sistema.

e) Sume las dos energías cinéticas encontradas.

f) Con la definición del producto escalar, intente escribir la velocidad con un producto escalar consigo mismo y luego transforme la relación obtenida en la energía cinética del sistema. Necesita multiplicar ambos lados por un factor específico para obtener la energía.

a) La energía total será la suma de la energía de cada partícula.

\begin{equation*}
K_{\text{tot}} = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Con valores numéricos:

\begin{equation*}
K_{\text{tot}} = 4768 \, \text{J}.
\end{equation*}

b) La velocidad del centro de masa es:

\begin{equation*}
\vec{v}_\text{cm}=\frac{\sum_i m_i \vec{v}_i}{\sum_i m_i},
\end{equation*}

que en este caso resulta en:

\begin{equation*}
\vec{v}_\text{cm}=\frac{121}{12}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{39}{4}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}

c) La magnitud de la velocidad del centro de masa que se encuentra en b) es:

\begin{equation*}
\vec{v}_\text{cm}=\sqrt{\frac{14165}{72}} \, \text{m/s}.
\end{equation*}

La energía cinética del centro de masa es:

\begin{equation*}
K_{\text{cm}} = \frac{1}{2} \left( \sum_i m_i \right) v_{\text{cm}}^2,
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
K_{\text{cm}} \approx 2361 \, \text{J}.
\end{equation*}

d) Para cada partícula, la velocidad relativa al centro de masa será:

\begin{equation*}
\vec{v}’ = \vec{v} – \vec{v}_{\text{cm}}.
\end{equation*}

La energía cinética relativa es:

\begin{equation*}
K_{\text{rel}} = \frac{1}{2} m_1 v_1’^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2’^2 + \frac{1}{2} m_3 v_3’^2
\end{equation*}

Insertando los valores numéricos, obtenemos:

\begin{equation*}
K_{\text{rel}} \approx 2407 \, \text{J}.
\end{equation*}

e) La suma de las dos energías cinéticas encontradas es:

\begin{equation*}
K_{\text{cm}} + K_{\text{cm}} = 4768 \, \text{J},
\end{equation*}

lo mismo que en a).

f) La velocidad es:

\begin{equation*}
\vec{v}=\vec{v}’+\vec{v}_{\text{cm}}.
\end{equation*}

El producto escalar del último vector por sí mismo se puede escribir como:

\begin{equation*}
v_i^2=v_i’^2+2\vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+v_\text{cm}^2.
\end{equation*}

Multiplicando todos los factores de la ecuación anterior por \(\frac{1}{2}m_i\), obtenemos:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}m_iv_i^2=\frac{1}{2}m_iv_i’^2+m_i\vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+\frac{1}{2}m_iv_\text{cm}^2.
\end{equation*}

Tomando la suma de todas las partículas en la expresión anterior, obtenemos la expresión de las energías cinéticas. Esto se puede escribir como:

\begin{equation*}
K_\text{tot}=K_{\text{rel}}+ \sum_im_i\vec{v}_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+K_{\text{cm}}.
\end{equation*}

El término medio es, por álgebra:

\begin{equation*}
\sum_i m_i \vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}=\sum_i m_i\left(\frac{\sum_im_i\vec{v}_i}{\sum_i m_i}-\vec{v}_{\text{cm}}\right)\cdot\vec{v}_{\text{cm}},
\end{equation*}

que es la definición de la velocidad del centro de masa entre paréntesis. Entonces, este término medio es cero. Finalmente:

\begin{equation*}
K_\text{tot}=K_{\text{rel}}+K_{\text{cm}}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) Nos han pedido que encontremos la energía cinética total del sistema. Debido a la simetría esférica de los objetos, podemos aproximarlos a partículas que se ubican en el centro de cada esfera. Comencemos por establecer las siguientes etiquetas para las esferas que usaremos a lo largo del problema: la esfera con masa \(4\,\text{kg}\) es la partícula 1, la esfera con masa \(7\,\text{kg}\) es la partícula 2 y la esfera con masa \(13\,\text{kg}\) es la partícula 3.

La energía cinética total \(K_{\text{tot}}\) será la suma de las energías cinéticas individuales, es decir

\begin{equation}
K=\sum_i K_i,
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

que, en nuestro caso particular, es

\begin{equation}
\label{ktot}
K_{\text{tot}}=K_1+K_2+K_3,
\end{equation}

donde el subíndice se utiliza para indicar la energía cinética de cada partícula. Para una partícula de masa \(m\) y rapidez \(v\), la energía cinética \(K\) se puede escribir como

\begin{equation}
\label{kinetic}
K=\frac{1}{2}mv^2.
\end{equation}

Usando el resultado anterior en cada término del lado derecho de la ecuación \eqref{ktot} , obtenemos

\begin{equation}
\label{defktot}
K_{\text{tot}}=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_i^2,
\end{equation}

\begin{equation}
K_{\text{tot}}=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2+\frac{1}{2}m_3v_3^2,
\end{equation}

donde \(v_1\) \(v_2\) y \(v_3\) son la rapidez , que es la magnitud del vector velocidad , de cada partícula. Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
K_{\text{tot}}=\frac{1}{2}(4\,\text{kg})(22\,\text{m/s})^2+\frac{1}{2}(7\,\text{kg})(22\,\text{m/s})^2+\frac{1}{2}(13\,\text{kg})(18\,\text{m/s})^2,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ktot2}
K_{\text{tot}}= 4768\,\text{J}.
\end{equation}

b) La velocidad del centro de masa \(\vec{v}_\text{cm}\) se puede calcular de acuerdo con la siguiente ecuación

\begin{equation}
\label{defvcm}
\vec{v}_\text{cm}=\frac{\sum_i m_i \vec{v}_i}{\sum_i m_i},
\end{equation}

que, para nuestro caso, se reduce a

\begin{equation}
\vec{v}_\text{cm}=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+m_3\vec{v}_3}{m_1+m_2+m_3}.
\end{equation}

Usando los valores dados

\begin{equation}
\vec{v}_\text{cm}=\frac{(4\,\text{kg})(22\,\text{m/s}\,\hat{
\textbf{i}})+(7\,\text{kg})(22\,\text{m/s}\,\hat{
\textbf{i}})+(13\,\text{kg})(-18\,\text{m/s}\,\hat{
\textbf{j}})}{4\,\text{kg}+7\,\text{kg}+13\,\text{kg}},
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\label{vcm}
\vec{v}_\text{cm}=\frac{121}{12}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{39}{4}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

c) La energía cinética del centro de masa \(K_{\text{cm}}\) se puede calcular usando la siguiente expresión

\begin{equation}
\label{defkcm}
K_{\text{cm}}=\frac{1}{2}\left(\sum_i m_i\right)v_{\text{cm}}^2,
\end{equation}

donde \(v_{\text{cm}}\) es la magnitud del vector \(\vec{v}_{\text{cm}}\). En nuestro caso particular de tres masas, la expresión anterior se convierte en

\begin{equation}
\label{kcm}
K_{\text{cm}}=\frac{1}{2}(m_1+m_2+m_3)v_{\text{cm}}^2.
\end{equation}

Para calcular la magnitud del vector \(\vec{v}_{\text{cm}}\), usamos el resultado de la ecuación \eqref{vcm} , es decir

\begin{equation}
v_\text{cm}=\sqrt{\left(\frac{121}{12}\,\text{m/s}\right)^2+\left(\frac{39}{4}\,\text{m/s}\right)^2},
\end{equation}

\begin{equation}
v_{\text{cm}}=\sqrt{\frac{14165}{72}}\,\text{m/s}.
\end{equation}

Ahora usamos el resultado numérico anterior y los valores numéricos de las masas para calcular la energía cinética del centro de masa dado en la ecuación \eqref{kcm}

\begin{equation}
K_{\text{cm}}=\frac{1}{2}(4\,\text{kg}+7\,\text{kg}+13\,\text{kg})\left(\sqrt{\frac{14165}{72}}\,\text{m/s}\right)^2,
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
\label{kcm2}
K_{\text{cm}}=\frac{14165}{6}\,\text{J} \approx 2361 \,\text{J} .
\end{equation}

d) Para calcular la energía cinética de los objetos con respecto a un sistema de coordenadas que se mueve con la misma velocidad que el centro de masa, primero debemos calcular sus velocidades relativas con respecto a dicho sistema de coordenadas. Para calcular estas velocidades relativas \(\vec{v}’\), debemos usar la siguiente relación

\begin{equation}
\label{relative}
\vec{v}’=\vec{v}-\vec{v}_\text{cm}.
\end{equation}

Lo cual, especialmente en nuestro caso, podemos calcular las velocidades relativas de las tres partículas de la siguiente manera. Para la partícula 1, podemos escribir, usando la ecuación \eqref{relative}

\begin{equation}
\vec{v}_1’=\vec{v}_1-\vec{v}_\text{cm},
\end{equation}

que, después de usar los valores dados y la velocidad del centro de masa calculada en la ecuación \eqref{vcm} , es

\begin{equation}
\vec{v}_1’=22\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-\left(\frac{121}{12}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{39}{4}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}\right),
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{v}_1’=\frac{143}{12}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{39}{4}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La magnitud de la velocidad relativa de la partícula 1 es

\begin{equation}
v_1’=\sqrt{\left(\frac{143}{12}\,\text{m/s}\right)^2+\left(\frac{39}{4}\,\text{m/s}\right)^2},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{v1p}
v_1’=\sqrt{\frac{17069}{72}}\,\text{m/s}.
\end{equation}

Para la partícula 2, podemos escribir, con ayuda de la ecuación \eqref{relative}

\begin{equation}
\vec{v}_2’=\vec{v}_2-\vec{v}_\text{cm},
\end{equation}

que, después de usar los valores dados y la velocidad del centro de masa calculada en la ecuación \eqref{vcm} , es

\begin{equation}
\vec{v}_2’=22\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-\left(\frac{121}{12}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{39}{4}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}\right),
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{v}_2’=\frac{143}{12}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+\frac{39}{4}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La magnitud de la velocidad relativa de la partícula 2 es

\begin{equation}
v_2’=\sqrt{\left(\frac{143}{12}\,\text{m/s}\right)^2+\left(\frac{39}{4}\,\text{m/s}\right)^2},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{v2p}
v_2’=\sqrt{\frac{17069}{72}}\,\text{m/s}.
\end{equation}

Para la partícula 3, podemos escribir, con ayuda de la ecuación \eqref{relative}

\begin{equation}
\vec{v}_3’=\vec{v}_3-\vec{v}_\text{cm},
\end{equation}

que, después de usar los valores dados y la velocidad del centro de masa calculada en la ecuación \eqref{vcm} , es

\begin{equation}
\vec{v}_3’=-18\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}-\left(\frac{121}{12}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{39}{4}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}\right),
\end{equation}

\begin{equation}
\vec{v}_3’=-\frac{121}{12}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-\frac{33}{4}\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La magnitud de la velocidad relativa de la partícula 3 es

\begin{equation}
v_3’=\sqrt{\left(-\frac{121}{12}\,\text{m/s}\right)^2+\left(-\frac{33}{4}\,\text{m/s}\right)^2},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{v3p}
v_3’=\sqrt{\frac{12221}{72}}\,\text{m/s}.
\end{equation}

La energía cinética de las partículas con respecto a este sistema de coordenadas será

\begin{equation}
\label{defkrel}
K_{\text{rel}}=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_i’^2,
\end{equation}

\begin{equation}
K_{\text{rel}}=K_1’+K_2’+K_3′,
\end{equation}

donde cada término en el lado derecho se calcula de acuerdo con la ecuación \eqref{kinetic} pero usando la velocidad relativa. Por lo tanto, la expresión explícita de la energía cinética con respecto al sistema de coordenadas del centro de masa es

\begin{equation}
K_{\text{rel}}=\frac{1}{2}m_1v_1’^2+\frac{1}{2}m_2v_2’^2+\frac{1}{2}m_3v_3’^2.
\end{equation}

Usando los valores numéricos de las ecuaciones \eqref{v1p} , \eqref{v2p} y \eqref{v3p} en la ecuación anterior, obtenemos

\begin{equation*}
K_{\text{rel}}=\frac{1}{2}(4\,\text{kg})\left(\sqrt{\frac{17069}{72}}\,\text{m/s}\right)^2+\frac{1}{2}(7\,\text{kg})\left(\sqrt{\frac{17069}{72}}\,\text{m/s}\right)^2\end{equation*}\begin{equation}+\frac{1}{2}(13\,\text{kg})\left(\sqrt{\frac{12221}{72}}\,\text{m/s}\right)^2,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{krel}
K_{\text{rel}}=\frac{14443}{6}\,\text{J} \approx 2407 \,\text{J}.
\end{equation}

e) Sumando la energía cinética del centro de masa y la energía cinética de las partículas con respecto al sistema de coordenadas del centro de masa, obtenemos (usando los resultados de las ecuaciones \eqref{kcm2} y \eqref{krel})

\begin{equation}
K_{\text{cm}}+K_{\text{rel}}=\frac{14165}{6}\,\text{J}+\frac{14443}{6}\,\text{J},
\end{equation}

\begin{equation}
K_{\text{cm}}+K_{\text{rel}}=4768\,\text{J},
\end{equation}

que es igual a la energía cinética total dada por la ecuación \eqref{ktot2} .

f) Podemos generalizar este resultado mediante la ecuación \eqref{relative} , que resolviendo para \(\vec{v}\) es

\begin{equation}
\label{velvec}
\vec{v}=\vec{v}’+\vec{v}_{\text{cm}}.
\end{equation}

Su magnitud se puede encontrar en términos de la raíz cuadrada del producto escalar consigo mismo, es decir

\begin{equation}
v=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}},
\end{equation}

o, de manera equivalente

\begin{equation}
\label{vmag2}
v^2=\vec{v}\cdot\vec{v}.
\end{equation}

Usando la expresión para el vector velocidad dada en \eqref{velvec} en la ecuación anterior, tenemos

\begin{equation}
v^2=(\vec{v}’+\vec{v}_{\text{cm>\cdot(\vec{v}’+\vec{v}_{\text{cm>,
\end{equation}

que, después de expandirse, es

\begin{equation}
\label{realtion}
v^2=\vec{v}’\cdot\vec{v}’+2\vec{v}’\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+\vec{v_{\text{cm}}}\cdot\vec{v_{\text{cm}}},
\end{equation}

donde hemos utilizado la ley distributiva y la conmutatividad del producto escalar. Siguiendo una expresión similar, como se indica en la ecuación \eqref{vmag2} , podemos escribir

\begin{equation}
v’^2=\vec{v}’\cdot\vec{v}’,
\end{equation}

y

\begin{equation}
v_{\text{cm}}=\vec{v}_{\text{cm}}\cdot\vec{v}_{\text{cm}}.
\end{equation}

Por tanto, la ecuación \eqref{realtion} Se puede escribir como

\begin{equation}
v^2=v’^2+2\vec{v}’\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+v_\text{cm}^2.
\end{equation}

En particular, para la \(i\)-ésima partícula de masa \(m_i\), podemos escribir

\begin{equation}
v_i^2=v_i’^2+2\vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+v_\text{cm}^2.
\end{equation}

Multiplicando todos los factores de la ecuación anterior por \(\frac{1}{2}m_i\), obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2}m_iv_i^2=\frac{1}{2}m_iv_i’^2+m_i\vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+\frac{1}{2}m_iv_\text{cm}^2.
\end{equation}

Tomando la suma de todas las partículas en la expresión anterior, obtenemos la expresión

\begin{equation}
\label{equiv}
\sum_i\frac{1}{2}m_iv_i^2= \sum_i\frac{1}{2}m_iv_i’^2+ \sum_im_i\vec{v}_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+ \sum_i\frac{1}{2}m_iv_\text{cm}^2.
\end{equation}

El término en el lado izquierdo de la ecuación \eqref{equiv} es la energía cinética total según la ecuación \eqref{defktot} . El primer término en el lado derecho de la ecuación \eqref{equiv} es la energía cinética relativa al centro de masa del sistema de acuerdo con la ecuación \eqref{defkrel} . El último término del lado derecho de la ecuación \eqref{equiv} es equivalente a la energía cinética del centro de masa según la ecuación \eqref{defkcm} .

Entonces podemos escribir a partir de la ecuación \eqref{equiv}

\begin{equation}
\label{equiv2}
K_\text{tot}=K_{\text{rel}}+ \sum_im_i\vec{v}_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}+K_{\text{cm}}.
\end{equation}

Examinemos el término en el medio del lado derecho de la ecuación \eqref{equiv2} explícitamente,

\begin{equation}
\label{yacasi}
\sum_i m_i \vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}=\sum_i m_i (\vec{v}_i-\vec{v}_{\text{cm>\cdot\vec{v}_{\text{cm}},
\end{equation}

donde hemos usado la ecuación \eqref{relative} para escribir \(\vec{v}_i’\) en términos de \(\vec{v}_i\) y \(\vec{v}_{\text{cm}}\). Expandiendo el paréntesis en la ecuación \eqref{yacasi} , obtenemos

\begin{equation}
\label{yacasi2}
\sum_i m_i \vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}=\left(\sum_im_i\vec{v}_i-\sum_im_i\vec{v}_{\text{cm}}\right)\cdot\vec{v}_{\text{cm}},
\end{equation}

donde podemos tomar el término \(\sum_i m_i\) como factor común para obtener

\begin{equation}
\label{yacasi3}
\sum_i m_i \vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}=\sum_i m_i\left(\frac{\sum_im_i\vec{v}_i}{\sum_i m_i}-\vec{v}_{\text{cm}}\right)\cdot\vec{v}_{\text{cm}}.
\end{equation}

El término entre paréntesis es cero debido a la ecuación \eqref{defvcm} , por lo tanto

\begin{equation}
\sum_i m_i \vec{v}’_i\cdot\vec{v}_{\text{cm}}=0.
\end{equation}

Como conclusión, podemos escribir la ecuación \eqref{equiv2} como

\begin{equation}
K_\text{tot}=K_{\text{rel}}+K_{\text{cm}},
\end{equation}

mostrando que el resultado del inciso e) se puede generalizar.

[/mepr-show]

You need to be registered and logged in to take this quiz. Log in