¡Calentando un bloque de hielo!

Suponga que el hielo llega a cada estado y encuentre la masa o la temperatura en consecuencia para ver si la suposición era correcta.

Primero, escribamos la conservación de energía para este problema de calorimetría específico. Se lee como:

\begin{equation*}
Q_{\text{in}}=\sum_{j=1}^N Q_j.
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

El calor para el cambio de temperatura es:

\begin{equation*}
Q=mc\Delta T,
\end{equation*}

y el calor latente, por cambio de fase en la materia, es:

\begin{equation}
Q= \pm mL.
\end{equation}

Sea \(Q_1\) el calor para elevar la temperatura del hielo a \(0 ^\circ \text{C} \). \(Q_2\) el calor latente para la fusión. \(Q_3\) el calor como agua para elevar la temperatura de \(0 ^\circ \text{C} \) a \(100 ^\circ \text{C} \). \(Q_4\) el calor latente de vaporización. Finalmente, \(Q_5\) el calor en forma de vapor para elevar la temperatura de \(100 ^\circ \text{C} \) a una temperatura final \(T_f\). El calor total que ingresa al sistema es:

\begin{equation*}
Q_{\text{in}}=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5,
\end{equation*}

o:

\begin{equation*}
Q_{\text{in}}=mc_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>+mL_{\text{f}}+mc_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>\end{equation*} \begin{equation*}\label{sup5.1}+mL_{\text{v}}+mc_{\text{vapor}}(T_{f}^{\text{vapor}}-T_i^{\text{vapor>.
\end{equation*}

Resolviendo para \(T_f\) obtenemos:

\begin{equation*}
T_{f}^{\text{vapor}}=T_i^{\text{vapor}}+\frac{Q_{\text{in}}}{mc_{\text{vapor}}}-\frac{c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>}{c_{\text{vapor}}}-\frac{L_{\text{f}}}{c_{\text{vapor}}}\end{equation*} \begin{equation*}-\frac{c_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>}{c_{\text{vapor}}}-\frac{L_{\text{v}}}{c_{\text{vapor}}}.
\end{equation*}

Con valores numéricos:

\begin{equation*}
T_f^{\text{vapor}}\approx 568\,{}^{\circ}\text{C}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

Nos han pedido que encontremos la temperatura final y la fase del hielo. Para resolver este problema de calorimetría, debemos utilizar la ecuación de conservación de energía aplicada a este problema en particular y varios supuestos sobre el estado final del hielo. Luego, al encontrar el estado final real del hielo, verificaremos si nuestras suposiciones son correctas.

Primero, escribamos la conservación de energía para este problema de calorimetría específico. Se lee

\begin{equation}
\label{sumaQ}
Q_{\text{in}}=\sum_{j=1}^N Q_j,
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde \(Q_{\text{in}}\) es la cantidad de calor que se agrega al sistema y \(Q_j\) son los diferentes tipos de calor absorbidos por el hielo. La expresión explícita de cada \(Q_j\) depende del proceso y del estado de la materia en el que se encuentra el sistema. El número total de procesos distintos que ocurren se denota por \(N\). El sistema en nuestro caso es el \(3\,\text{kg}\) de hielo.

Hay dos tipos de formas que pueden adoptar los términos \(Q_j\):

(i) La energía se utiliza para el cambio de temperatura, es decir

\begin{equation}
\label{mcdt}
Q=mc\Delta T,
\end{equation}

donde \(m\) es la masa del objeto, \(c\) su calor específico y \(\Delta T=T_f-T_i\) el cambio de una temperatura inicial \(T_i\) a una final \(T_f\).

(ii) Se utiliza energía para un cambio de fase en la materia. Esto ocurre a una temperatura constante y la expresión para \(Q\) será

\begin{equation}
\label{mL}
Q=\pm mL,
\end{equation}

donde \(m\) es la cantidad de masa del objeto que hace la transición de fase y \(L\) es el calor latente, que es diferente para diferentes elementos y diferentes transiciones de fase. El signo positivo se elige cuando el objeto pasa de sólido a líquido o de líquido a gas, y el signo negativo se elige cuando el objeto pasa de líquido a sólido o de gas a líquido.

Ahora, comencemos con las suposiciones. Para nuestro primer supuesto, asumimos que el estado final del sistema es completamente hielo con una temperatura \(T_f<0\,{}^{\circ}\text{C}\), por lo que no se produce ningún cambio de fase y sólo tiene lugar un proceso \(N=1\), especificamente, el cambio de temperatura del hielo. Por lo tanto, escribimos la ecuación \eqref{sumaQ} como

\begin{equation}
\label{sup1}
Q_{\text{in}}=Q_1.
\end{equation}

Debemos usar la ecuación \eqref{mcdt} para calcular \(Q_1\) en la fase correspondiente; explícitamente,

\begin{equation}
\label{q1}
Q_1=m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f-T_i).
\end{equation}

Usando la expresión dada en la ecuación \eqref{q1} en la ecuación \eqref{sup1} , obtenemos

\begin{equation}
Q_{\text{in}}=m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f-T_i),
\end{equation}

donde podemos dividir ambos lados por \(m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}\) para obtener

\begin{equation}
\frac{Q_{\text{in}}}{m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}}=T_f-T_i,
\end{equation}

y resolvemos \(T_f\) para obtener

\begin{equation}
T_f=T_i+\frac{Q_{\text{in}}}{m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}}.
\end{equation}

Calculando \(T_f\) explícitamente con los valores numéricos dados, obtenemos

\begin{equation}
T_f=-20\,{}^{\circ}\text{C}+\frac{1.2\times10^7\,\text{J}}{(3\,\text{kg})(2108\,\text{J/kg\,}{}^{\circ}\text{C})}\approx1877\,{}^{\circ}\text{C}.
\end{equation}

Claramente, esta temperatura no tiene sentido porque para nuestra primera suposición, dijimos \(T_f<0\,{}^{\circ}\text{C} \) para tener solo hielo. Por lo tanto, la primera suposición resultó ser incorrecta.

Seguiremos con la segunda suposición: el hielo se derrite parcialmente, creando así una fase mixta de hielo y agua. La temperatura final es la única temperatura a la que esta fase mixta puede existir en equilibrio, que es la temperatura de la transición de fase \(T_f=0\,{}^{\circ}\text{C} \). Observe que ahora tenemos dos procesos: el cambio de temperatura del hielo y la transición de fase del hielo en agua (de sólido a líquido); por lo tanto, \(N=2\). El término \(Q_1\) se toma como en \eqref{q1} . El término \(Q_2\) debe calcularse siguiendo la ecuación \eqref{mL} con la masa apropiada y el calor latente para la fusión, es decir

\begin{equation}
\label{q2}
Q_2=m_{\text{ice melts}}L_{\text{f}},
\end{equation}

donde \(L_{\text{f}}\) es el calor latente de fusión y \(m_{\text{ice melts}}\) es la cantidad de hielo que se derrite. Para que nuestra segunda suposición tenga sentido, esta cantidad de masa de hielo que se derrite debe ser menor o igual a la masa total de hielo, es decir \(m_{\text{ice melts}}\leq 3\,\text{kg}\). Usando la ecuación \eqref{sumaQ} para nuestro segundo supuesto, obtenemos

\begin{equation}
\label{sup2}
Q_{\text{in}}=Q_1+Q_2.
\end{equation}

Usando las expresiones de las ecuaciones \eqref{q1} y \eqref{q2} en la ecuación \eqref{sup2} , obtenemos

\begin{equation}
\label{sup2.1}
Q_{\text{in}}=m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f-T_i)+m_{\text{ice melts}}L_{\text{f}},
\end{equation}

donde nuestra incógnita es ahora \(m_{\text {ice melts}}\). Resolviendo para \(m_{\text{ice melts}}\) en la ecuación \eqref{sup2.1}, obtenemos

\begin{equation}
m_{\text{ice melts}}=\frac{Q_{\text{in}}}{L_{\text{f}}}-\frac{m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f-T_i)}{L_{\text{f}}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos para nuestra segunda suposición (\(T_f=0\,{}^{\circ}\text{C}\)), obtenemos

\begin{equation}
m_{\text{ice melts}}=\frac{1.2\times 10^7\,\text{J}}{334000\,\text{J/kg}}-\frac{(3\,\text{kg})(2108\,\text{J/kg\,}{}^{\circ}\text{C})(0\,{}^{\circ}\text{C}-(-20\,{}^{\circ}\text{C}))}{334000\,\text{J/kg}},
\end{equation}

\begin{equation}
m_{\text{ice melts}}\approx 36\,\text{kg}.
\end{equation}

A partir del resultado anterior, está claro que nuestra segunda suposición también es incorrecta, ya que \(m_{\text{ice melts}}\) debe ser menor o igual que \(3\,\text{kg}\). Entonces, continuamos con un tercer supuesto.

En nuestro tercer supuesto, consideraremos que todo el hielo está derretido y el agua resultante tiene una temperatura final \(T_f\), que debemos encontrar, entre los valores \(0\,{}^{\circ}\text{C}<T_f<100\,{}^{\circ}\text{C}\). Luego debemos agregar un término relativo al calentamiento del agua que una vez fue hielo, luego \(N=3\) y la ecuación \eqref{sumaQ} se convierte en \begin{equation} \label{sup3} Q_{\text{in}}=Q_1+Q_2+Q_3. \end{equation} El término \(Q_3\) es el que se refiere al aumento de temperatura del agua, y se puede escribir de acuerdo con la ecuación \eqref{mcdt} como \begin{equation} \label{q3} Q_3=m_{\text{water}}c_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>, \end{equation} donde hemos hecho la distinción en las temperaturas, masa y calor específico para indicar que estas variables corresponden al agua. Los términos \(Q_1\) y \(Q_2\) se pueden obtener de las ecuaciones \eqref{q1} y \eqref{q2}, solo en este caso \(m_{\text{ice melts}}=m_{\text{ice}}=m_{\text{water}}\) porque no se pierde masa durante la fase de transición. Entonces podemos reescribir la ecuación \eqref{sup3} como \begin{equation} \label{sup3.1} Q_{\text{in}}=m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>+m_{\text{ice}}L_{\text{f}}+m_{\text{water}}c_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>, \end{equation} donde también hemos hecho la distinción sobre las temperaturas a las que comienza el hielo \(T_i^{\text{ice}}=-20\,{}^{\circ}\text{C}\) y en el que el hielo se convierte en agua \(T_f^{\text{ice}}=0\,{}^{\circ}\text{C}\). Como consecuencia, el valor numérico de \(T_i^{\text{water}}=0\,{}^{\circ}\text{C}\). Resolviendo para \(T_f^{\text{water}}\), tenemos \begin{equation} Q_{\text{in}}-m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>-m_{\text{ice}}L_{\text{f}}=m_{\text{water}}c_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>, \end{equation}y dividiendo ambos lados por \(m_{\text{water}}c_{\text{water}}\) \begin{equation} \frac{Q_{\text{in}}}{m_{\text{water}}c_{\text{water}}}-\frac{m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>}{m_{\text{water}}c_{\text{water}}}-\frac{m_{\text{ice}}L_{\text{f}}}{m_{\text{water}}c_{\text{water}}}=T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water}}, \end{equation} donde podemos resolver directamente para \(T_f^{\text{water}}\) para obtener \begin{equation} \label{sup3.2} T_f^{\text{water}}=T_i^{\text{water}}+\frac{Q_{\text{in}}}{m_{\text{water}}c_{\text{water}}}-\frac{m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>}{m_{\text{water}}c_{\text{water}}}-\frac{m_{\text{ice}}L_{\text{f}}}{m_{\text{water}}c_{\text{water}}}. \end{equation} Observe que como \(m_{\text{water}}=m_{\text{ice}}\) podemos simplificar aún más la expresión en la ecuación \eqref{sup3.2} a \begin{equation} T_f^{\text{water}}=T_i^{\text{water}}+\frac{Q_{\text{in}}}{m_{\text{water}}c_{\text{water}}}-\frac{c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>}{c_{\text{water}}}-\frac{L_{\text{f}}}{c_{\text{water}}}. \end{equation} Usando los valores numéricos obtenemos \begin{equation} T_f^{\text{water}}=\frac{1.2\times 10^7\,\text{J}}{(3\,\text{kg})(4186\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C})}-\frac{(2108\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C})(-(-20\,{}^{\circ}\text{C}))}{4186\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C}}-\frac{334000\,\text{J/kg}}{4186\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C}}, \end{equation} \begin{equation} T_f^{\text{water}}\approx 885.8\,{}^{\circ}\text{C}. \end{equation} Una vez más, la temperatura es demasiado alta y la tercera suposición no es correcta porque \(T_f>100\,{}^{\circ}\text{C}\). Ahora es el momento de hacer una cuarta suposición.

En este cuarto supuesto, el hielo sube de temperatura, luego se derrite, luego el agua sube de temperatura y luego se vaporiza parcialmente de tal manera que en el estado final tenemos agua y vapor coexistiendo. La temperatura final del sistema sería \(T_f=100\,{}^{\circ}\text{C}\), la temperatura de la transición de fase entre líquido y gas. Como antes, identificamos cuatro procesos (\(N=4\)), entonces la ecuación \eqref{sumaQ} se convierte en

\begin{equation}
\label{sup4}
Q_{\text{in}}=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4.
\end{equation}

Esta vez, \(Q_4\) tomará la forma dada por la ecuación \eqref{mL} con las etiquetas apropiadas para la correspondiente transición de fase, es decir

\begin{equation}
\label{q4}
Q_4=m_{\text{water boils}}L_{\text{v}},
\end{equation}

donde \(L_{\text{v}}\) es el calor latente de vaporización y \(m_{\text{water boils}}\) es la cantidad de agua que hierve y se convierte en vapor; claramente, esta cantidad no puede ser mayor que la masa inicial de hielo, es decir, \(m_{\text{water boils}}\leq 3\,\text{kg}\). Los términos \(Q_1\,Q_2\) y \(Q_3\) se toman como en las ecuaciones \eqref{q1} , \eqref{q2} y \eqref{q3} respectivamente. Poniendo todo junto en la ecuación \eqref{sup4}, finalmente obtenemos \begin{equation} Q_{\text{in}}=m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>+m_{\text{ice}}L_{\text{f}}+m_{\text{water}}c_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>+m_{\text{water boils}}L_{\text{v}}. \end{equation} Resolviendo para \(m_{\text{water boils}}\) obtenemos \begin{equation} m_{\text{water boils}}=\frac{Q_{\text{in}}}{L_\text{v}}-\frac{m_{\text{ice}}c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>}{L_\text{v}}-\frac{m_{\text{ice}}L_{\text{f}}}{L_\text{v}}-\frac{m_{\text{water}}c_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>}{L_\text{v}}. \end{equation} Usando los valores numéricos, obtenemos \begin{equation*} m_{\text{water boils}}= \frac{1.2\times 10^7\,\text{J}}{2.27\times 10^{6}\,\text{J/kg}}-\frac{(3\,\text{kg})(2108\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C})(-(-20\,{}^{\circ}\text{C}))}{2.27\times 10^6\,\text{J/kg}} \end{equation*} \begin{equation} -\frac{(3\,\text{kg})(334000\,\text{J/kg})}{2.27\times 10^6\,\text{J/kg}}-\frac{(3\,\text{kg})(4186\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C})(100\,{}^{\circ}\text{C})}{2.27\times 10^6\,\text{J/kg}}, \end{equation} \begin{equation} m_{\text{water boils}}\approx 4.89\,\text{kg}. \end{equation} Claramente, la suposición 4 también es incorrecta porque \(m_{\text{water boils}}>3\,\text{kg} \). Solo nos queda el supuesto cinco.

En el supuesto cinco, el hielo aumenta de temperatura y luego se derrite en agua por completo. Esta agua luego sube de temperatura y se evapora por completo. Finalmente, el vapor resultante eleva su temperatura a una temperatura final \(T_f>100\,{}^{\circ}\text{C}\). En total, tenemos cinco procesos, entonces \(N=5\) y la ecuación \eqref{sumaQ} Se puede escribir como

\begin{equation}
\label{sup5}
Q_{\text{in}}=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5,
\end{equation}

donde \(Q_1,\,Q_2,\,Q_3\) y \(Q_4\) están dados por las ecuaciones \eqref{q1} , \eqref{q2} , \eqref{q3} y \eqref{q4} respectivamente. La ecuación para \(Q_5\) corresponde al vapor que aumenta su temperatura. Debemos usar la forma de la ecuación \eqref{mcdt} con las etiquetas apropiadas, especificamente,

\begin{equation}
Q_5=m_{\text{vapor}}c_{\text{vapor}}(T_{f}^{\text{vapor}}-T_i^{\text{vapor}}).
\end{equation}

La temperatura inicial del vapor es claramente la de la transición de fase, es decir \(T_{i}^{\text{vapor} }=100\,{}^{\circ}\text{C}\). La masa de vapor, según nuestras suposiciones, es la misma masa de agua y la misma que la del hielo, ya que no se pierde masa durante los procesos, entonces \(m_{\text{vapor}}=m_{\text{water}}=m_{\text{ice}}\). Como todas las masas son iguales, usaremos la notación \(m\) para todas las masas. Poniendo todo junto en la ecuación \eqref{sup5} , obtenemos

\begin{equation*}
Q_{\text{in}}=mc_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>+mL_{\text{f}}+mc_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>\end{equation*} \begin{equation}\label{sup5.1}+mL_{\text{v}}+mc_{\text{vapor}}(T_{f}^{\text{vapor}}-T_i^{\text{vapor>,
\end{equation}

donde también hemos cambiado \(m_{\text{water boils}}\) por \(m\) porque toda el agua hierve y \(m_{\text{ice melts}}=m\) porque todo el hielo se derrite. Ahora debemos resolver \(T_f^{\text{vapor}}\) en la ecuación \eqref{sup5.1}; por lo tanto,

\begin{equation*}
Q_{\text{in}}-mc_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>-mL_{\text{f}}-mc_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>-mL_{\text{v}}\end{equation*} \begin{equation}=mc_{\text{vapor}}(T_{f}^{\text{vapor}}-T_i^{\text{vapor>,
\end{equation}

dividiendo ambos lados por \(mc_{\text{vapor}}\), obtenemos

\begin{equation*}
\frac{Q_{\text{in}}}{mc_{\text{vapor}}}-\frac{mc_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>}{mc_{\text{vapor}}}-\frac{mL_{\text{f}}}{mc_{\text{vapor}}}-\frac{mc_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>}{mc_{\text{vapor}}}\end{equation*} \begin{equation}\label{sup5.2}-\frac{mL_{\text{v}}}{mc_{\text{vapor}}}=T_{f}^{\text{vapor}}-T_i^{\text{vapor}}.
\end{equation}

Simplificando la masa \(m\) en algunos de los términos y despejando \(T_{f}^{\text{vapor}}\) de la ecuación \eqref{sup5.2}, obtenemos

\begin{equation*}
T_{f}^{\text{vapor}}=T_i^{\text{vapor}}+\frac{Q_{\text{in}}}{mc_{\text{vapor}}}-\frac{c_{\text{ice}}(T_f^{\text{ice}}-T_i^{\text{ice>}{c_{\text{vapor}}}-\frac{L_{\text{f}}}{c_{\text{vapor}}}\end{equation*} \begin{equation}-\frac{c_{\text{water}}(T_f^{\text{water}}-T_i^{\text{water>}{c_{\text{vapor}}}-\frac{L_{\text{v}}}{c_{\text{vapor}}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos de cada variable, finalmente obtenemos

\begin{equation*}
T_{f}^{\text{vapor}}=100\,{}^{\circ}\text{C}+\frac{1.2\times 10^7\,\text{J}}{(3\,\text{kg})(1996\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C})}-\frac{2108\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C}(-(-20\,{}^{\circ}\text{C}))}{1996\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C}}\end{equation*} \begin{equation}-\frac{334000\,\text{J/kg}}{1996\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C}}-\frac{4186\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C}(100\,{}^{\circ}\text{C})}{1996\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C}}-\frac{2.27\times 10^6\,\text{J/kg}}{1996\,\text{J/kg}\,{}^{\circ}\text{C}},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
T_f^{\text{vapor}}\approx 568\,{}^{\circ}\text{C}.
\end{equation}

Lo cual es consistente con nuestra suposición cinco \(T_f^{\text{vapor}}>100\,{}^{\circ}\text{C}\).

Para responder explícitamente a la pregunta del problema, la fase final es vapor y su temperatura final es \(568\,{}^{\circ}\text{C}\).

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