¡Montaña y colina topo!

(a) Es posible que deba combinar dos ecuaciones para encontrar el tiempo que tarda la bicicleta en hacer el truco.

(b) Use la ecuación de velocidad con el tiempo encontrado en (a).

(c) Encuentre el componente X de la velocidad y la distancia con el tiempo encontrado en (a). Luego, encuentre la distancia total combinando la altura conocida.

(a) A lo largo de la componente Y, la ecuación de movimiento es la de aceleración uniforme, por lo que la rapidez en función del tiempo viene dada por:

\begin{equation*}
\vec{v}_y = \vec{a}_y t + \vec{v}_{iy},
\end{equation*}

La ecuación de movimiento en Y es la de aceleración uniforme:

\begin{equation*}
\vec{y}_f = – \frac{1}{2} \vec{g} t^2 + \vec{v}_{i_y}t + \vec{y}_i.
\end{equation*}

Despejando \( v_{iy} \) en la primera y reemplazando en la segunda. Luego, despejandO \( t \) y usando los valores numéricos, obtenemos:

\begin{equation*}
t = 1.43 \, \text{s}.
\end{equation*}

(b) Ahora que conocemos el tiempo, es fácil encontrar la velocidad inicial en Y. Simplemente podemos usar la ecuación de velocidad usando el tiempo encontrado en (a). El resultado es

\begin{equation*}
v_{i_y} = gt=14 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

(c) La distancia total es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces

\begin{equation*}
d_T = \sqrt{ (d_x)^2 + (d_y)^2},
\end{equation*}

donde \(d_x = v_x t\). El componente X de la velocidad es:

\begin{equation*}
v_x = \frac{v_{i_y}}{\tan \theta}.
\end{equation*}

Entonces, \(dx = 20 \, \text{m} \) usando el tiempo encontrado en (a). Entonces, el resultado es:

\begin{equation*}
d_T = 22.36 \, \text{m}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

(a) Para calcular el tiempo que le toma al ciclista acrobático realizar el truco, debemos comenzar identificando el tipo de movimiento del ciclista. Dado que no hay resistencia del aire, podemos suponer que el ciclista sigue un movimiento parabólico, lo que significa que tiene una velocidad horizontal constante y una aceleración vertical uniforme (debido a la gravedad). Comencemos colocando un sistema de coordenadas donde el origen está en la cima de la primera colina y el eje Y está apuntando verticalmente (ver figura 1).

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en la primera colina.

Ahora, para encontrar el tiempo del salto total, observe que la velocidad final a lo largo de Y es cero (en la indicación nos piden que asumamos esto). Cuando tenemos un movimiento parabólico (o cualquier movimiento de caída libre), la velocidad en Y es cero solo si el objeto alcanza el punto de altura máxima. Esto es fácil de entender, porque durante un movimiento parabólico el objeto siempre irá hacia arriba, con cierta rapidez, o hacia abajo, con cierta rapidez. Solo cuando el objeto está a la altura máxima, no está ni subiendo ni bajando, por lo que no tiene rapidez vertical en ese instante.

Como conocemos la rapidez vertical final (cero), necesitamos usar una ecuación que relacione esta información con otras variables. Una forma de proceder es usar la ecuación \( t = \sqrt{\frac{2(h_f – h_i)}{g}}\) que nos dice el tiempo que tarda un objeto en alcanzar el punto de altura máxima. Sin embargo, a menudo es difícil recordar esta y otras ecuaciones similares, por lo que derivaremos la ecuación de algunas más básicas.

A lo largo de Y, la ecuación de movimiento es la de aceleración uniforme, por lo que la rapidez en función del tiempo viene dada por

\begin{equation}
\vec{v}_y = \vec{a}_y t + \vec{v}_{iy},
\end{equation}

donde \(\vec{a}\) es la aceleración en Y, \(\vec{v}_{iy}\) la velocidad inicial en Y y \(\vec{v}_y\) la velocidad en Y en el tiempo \(t\). Ahora bien, en este caso, según nuestro sistema de coordenadas, sabemos que la velocidad inicial es positiva en Y (aunque desconocemos la magnitud), y que la aceleración gravitacional es negativa en Y. También sabemos que la rapidez final debe ser cero en el momento en que el ciclista llega a la segunda colina. Entonces podemos reescribir la ecuación anterior como

\begin{equation}
0 \, \hat{\textbf{j}} = – g t \, \hat{\textbf{j}} + v_{iy} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Reorganicemos esta ecuación y centrémonos solo en las magnitudes, para obtener

\begin{equation}
\label{Biker_vel}
gt = v_{i_y}.
\end{equation}

Finalmente, si dividimos por \(g\), obtenemos una ecuación para el tiempo de altura máxima en términos de la rapidez Y inicial y \(g\):

\begin{equation}
\label{Biker_tiempo}
t = \frac{v_{i_y}}{g}.
\end{equation}

Ésta es la ecuación para el tiempo que tarda un objeto en movimiento parabólico en alcanzar la altura máxima. Ahora, aún no podemos encontrar el tiempo a partir de esta ecuación porque no conocemos la rapidez inicial en Y. Para encontrar esto, tendremos que usar más información.

Usemos que la ecuación de movimiento en Y es la de aceleración uniforme:

\begin{equation}
\label{Biker_yf}
y_f \, \hat{\textbf{j}} = – \frac{1}{2} g t^2 \, \hat{\textbf{j}} + v_{i_y}t \, \hat{\textbf{j}} + y_i \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

donde usamos que de acuerdo con nuestro sistema de coordenadas, la aceleración gravitacional es negativa en Y, la velocidad inicial en Y es positiva y la posición final en Y también es positiva. Según nuestro sistema de coordenadas, la posición inicial en Y es cero y la posición final en Y es de 10 metros en el eje Y positivo. Por lo tanto, la ecuación anterior se convierte en

\begin{equation}
10 \, \text{m} \, \hat{\textbf{j}} = – \frac{1}{2} g t^2 \, \hat{\textbf{j}} + v_{i_y}t \, \hat{\textbf{j}} + 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si nos enfocamos solo en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{Biker_yfNumerosMag}
10 \, \text{m} = – \frac{1}{2} g t^2 + v_{i_y}t.
\end{equation}

Ahora, esta ecuación relaciona el tiempo y la velocidad inicial en Y, por lo que podríamos usar el resultado de la ecuación \eqref{Biker_yfNumerosMag} para encontrar una expresión para una de estas variables. En particular, use la ecuación \eqref{Biker_tiempo} en la ecuación anterior para obtener

\begin{equation}
10 \, \text{m} = – \frac{1}{2} g \left( \frac{v_{i_y}}{g} \right)^2 + v_{i_y}\left( \frac{v_{i_y}}{g} \right).
\end{equation}

Desde aquí podemos encontrar \(v_{i_y}\). Primero, tome el factor común de \(v_{i_y}\) a la derecha para obtener

\begin{equation}
10 \, \text{m} = v_{i_y}^2 \left( – \frac{1}{2g} + \frac{1}{g} \right).
\end{equation}

Luego suma los términos comunes,

\begin{equation}
10 \, \text{m} = v_{i_y}^2 \left( \frac{1}{2g} \right),
\end{equation}

y multiplicar por \(2g \) para obtener \(v_{i_y}\) en términos de variables conocidas:

\begin{equation}
\sqrt{(2 g) 10 \, \text{m}} = v_{i_y}.
\end{equation}

Ahora podemos usar esta ecuación en \eqref{Biker_tiempo} para encontrar el tiempo:

\begin{equation}
t = \frac{\sqrt{(2 g) 10 \, \text{m}}}{g}.
\end{equation}

Insertamos los valores numéricos

\begin{equation}
t = \frac{\sqrt{2 (9.8 \, \text{m/s}^2) (10 \, \text{m})}}{(9.8 \, \text{m/s}^2)}
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
t = 1.43 \, \text{s}.
\end{equation}

(b) Ahora que conocemos el tiempo, es fácil encontrar la velocidad inicial en Y. Simplemente podemos usar la ecuación \eqref{Biker_vel} usando el tiempo encontrado en (a). El resultado es

\begin{equation}
v_{i_y} = gt=14 \, \text{m/s}.
\end{equation}

(c) Para encontrar las distancias totales entre las cimas de ambas colinas, observe que dicha distancia viene dada por la distancia total en X y la distancia total en Y, como se ilustra en la figura 2.

Figura 2: Se muestra la distancia total \( d_T \) entre la cima de las colinas. Se puede calcular usando la distancia horizontal \( d_x \) y la distancia vertical \( d_y \) entre la cima de las colinas.

Está claro que la distancia total es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por lo que

\begin{equation}
\label{Biker_distanciasTotales}
d_T = \sqrt{ (d_x)^2 + (d_y)^2}.
\end{equation}

Ya conocemos la distancia vertical, que es de 10 metros. Por lo tanto, todo lo que necesitamos encontrar es la distancia horizontal total. A lo largo de X, el ciclista tiene una rapidez constante, por lo que la distancia total simplemente viene dada por

\begin{equation}
\label{Biker_distanciaX}
d_x = v_x t.
\end{equation}

Conocemos el tiempo (encontrado en (a)), pero no sabemos \(v_x\). Para encontrar \(v_x\), tenemos que usar más información. Nos dicen que el ángulo inicial para el salto es de 45 grados. Con ese ángulo y la rapidez en Y, podemos encontrar la rapidez en X. Para hacerlo, considere la figura 3, que ilustra la velocidad inicial y sus componentes en X y Y.

Figura 3: Magnitudes de los componentes de la velocidad inicial.

A partir de aquí, está claro que

\begin{equation}
\frac{v_{i_y}}{v_x} = \tan \theta.
\end{equation}

Por lo tanto,

\begin{equation}
v_x = \frac{v_{i_y}}{\tan \theta}.
\end{equation}

Como conocemos la rapidez inicial en Y y el ángulo, podemos usar esto en la ecuación \eqref{Biker_distanciaX} para encontrar \(d_x\):

\begin{equation}
d_x = \frac{v_{i_y} t}{ \tan \theta} .
\end{equation}

Pongamos los valores numéricos:

\begin{equation}
d_x = \frac{(14 \, \text{m/s}) (1.43 \, \text{s})}{\tan (45^\circ)}.
\end{equation}

Entonces

\begin{equation}
d_x = 20 \, \text{m}.
\end{equation}

Finalmente, usamos esto en la ecuación \eqref{Biker_distanciasTotales} para encontrar la distancia total:

\begin{equation}
d_T = \sqrt{ (20 \, \text{m})^2 + (10 \, \text{m})^2}.
\end{equation}

El resultado es

\begin{equation}
d_T = 22.36 \, \text{m}.
\end{equation}

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