¡Las hormigas mosqueteras!

(a) Considere la ecuación de movimiento de cada hormiga y resuelva para el tiempo en los tres casos. Observe que solo una hormiga se mueve con aceleración constante.

(b) Resuelva el tiempo usando la ecuación de movimiento para objetos que se mueven con velocidad constante. Recuerde agregar el tiempo que se encuentra en el numeral (a) para cada hormiga.

(a) Para calcular el tiempo que tarda cada hormiga en llegar a la comida, debemos usar la ecuación para un movimiento de aceleración constante, a saber,

\begin{equation}
\vec{x}=\vec{x}_i+\vec{v}_i t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2.
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Dado que Antonio viaja con rapidez constante, entonces:

\begin{equation*}
t_A=\frac{x_A}{v_A}\approx66.7\,\text{s}.
\end{equation*}

Para Ryant también obtenemos:

\begin{equation*}
t_R=\frac{x_R}{v_R}=60\,\text{s}.
\end{equation*}

Bob avanza \(0.5\,\text{m}\) durante los 10 segundos en que se mueve a aceleración constante. Luego descansa durante 5 segundos y comienza su viaje nuevamente. Por lo tanto, en \(t = 25\,\text{s}\) su posición es \(x_B=1\,\text{m}\). Descansa de nuevo durante 5 segundos, lo que nos da un total de \(30\) segundos. En los siguientes 10 segundos, viaja 0,5 metros adicionales, por lo tanto, en \(t=40\,\text{s}\) su posición es \(x_B=1.5\,\text{m}\). Descansa de nuevo durante 5 segundos y en \(t=45\,\text{s}\) comienza a acelerar nuevamente durante 10 segundos para finalmente llegar a \(x_B=2\,\text{m}\). La cantidad total de tiempo que tarda Bob es entonces

\begin{equation*}
t_B=55\,\text{s}.
\end{equation*}

(b) De la ecuación de movimiento, la distancia desde el alimento a la colonia es \(x\) y \(t’\) el tiempo que le toma a cada hormiga regresar a la colonia. Resolviendo para \(t’\), obtenemos:

\begin{equation*}
t’=\frac{x}{v_{\text{max}}}.
\end{equation*}

Entonces calculemos el tiempo para Antonio:

\begin{equation*}
t’_A=\frac{2\,\text{m}}{0.05\,\text{m/s}}=40\,\text{s}.
\end{equation*}

Para Ryant tenemos

\begin{equation*}
t’_R=\frac{3\,\text{m}}{0.05\,\text{m/s}}=60\,\text{s}.
\end{equation*}

Y para Bob obtenemos

\begin{equation*}
t’_B=\frac{2\,\text{m}}{0.05\,\text{m/s}}=40\,\text{s}.
\end{equation*}

El tiempo total \(T\) para cada hormiga será la suma del tiempo que tarda la hormiga en llegar a la comida y el tiempo que tarda la hormiga en regresar a la colonia. Para Antonio, el tiempo total \(T_A\) es

\begin{equation*}
T_A=t_A+t’_A=106.7\,\text{s}.
\end{equation*}

lo que, después de utilizar los resultados numéricos dados por las ecuaciones \eqref{ta} y \eqref{tap}, es

\begin{equation*}
T_A=66.7\,\text{s}+40\,\text{s}=106.7\,\text{s}.
\end{equation*}

Para Ryant, el tiempo total \(T_R\) es:

\begin{equation*}
T_R=t_R+t’_R=120\,\text{s}.
\end{equation*}

Finalmente, el tiempo total para Bob \(T_B\) es:

\begin{equation*}
T_B=t_B+t’_B=95\,\text{s},
\end{equation*}

Por lo tanto, la hormiga que menos tiempo tarda en encontrar comida y luego volver a la colonia es Bob, seguido de Antonio y luego Ryant.

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

(a) Para calcular el tiempo que tarda cada hormiga en llegar a la comida, debemos usar la ecuación para un movimiento de aceleración constante, a saber,

\begin{equation}
\vec{x}=\vec{x}_i+\vec{v}_i t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2.
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Comencemos aplicando esta ecuación a Antonio, usando el sistema de coordenadas que se muestra en la figura 1.

Figura 1: Para la ecuación de movimiento de Antonio, colocamos el sistema de coordenadas en la colonia con el eje X positivo a la izquierda.

Dado este sistema de coordenadas, podemos escribir la posición de Antonio explícitamente como

\begin{equation}
x\,\hat{\textbf{i}}=x_i\,\hat{\textbf{i}}+v_it\,\hat{\textbf{i}}+\frac{
1}{2}at^2\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Eliminando la notación vectorial (ya que todo ocurre en línea recta) y concentrándonos en los componentes de cada vector, obtenemos

\begin{equation}
\label{motion}
x=x_i+v_it+\frac{1}{2}at^2.
\end{equation}

Dado que la velocidad de Antonio es constante, su aceleración es cero. Y dado que el origen de nuestro sistema de coordenadas se encuentra en la colonia, la posición inicial \(x_i\) también es cero. Entonces podemos escribir una ecuación para la posición de Antonio \(x_A\) usando \eqref{motion} como

\begin{equation}
\label{xa}
x_A=v_At,
\end{equation}

donde \(v_A=3\,\text{cm}/\texto{s}=0.03\,\text{m/s}\) es la rapidez de Antonio todo el tiempo . Si tenemos en cuenta que \(x_A=2\,\text{m}\) es la posición en la que Antonio encuentra comida, luego podemos resolver el tiempo \(t_A\) a partir de la ecuación \eqref{xa}:

\begin{equation}
t_A=\frac{x_A}{v_A},
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
\label{ta}
t_A=\frac{2\,\text{m}}{0.03\,\text{m/s}}\approx66.7\,\text{s}.
\end{equation}

Ahora, hagamos el mismo análisis para Ryant, usando el sistema de coordenadas que se muestra en la figura 2.

Figura 2: Para la ecuación de movimiento de Ryant, colocamos el sistema de coordenadas en la colonia con el eje X positivo apuntando hacia arriba.

Nuevamente, debido a que la velocidad de Ryant es constante (Ryant tiene rapidez constante y se mueve en línea recta), la aceleración es cero. El origen de nuestro sistema de coordenadas será la colonia, entonces la posición inicial \(x_i\) también es cero. De esta manera podemos usar \eqref{motion} nuevamente para escribir una ecuación para la posición de Ryant \(x_R\):

\begin{equation}
\label{xr}
x_R=v_Rt,
\end{equation}

donde \(v_R=5\,\text{cm}/s=0.05\,\text{m/s}\) es la rapidez de Ryant en todo momento. Si, en esta ecuación, usamos el hecho de que \(x_R=3\,\text{m}\) es la posición en la que Ryant encuentra comida, entonces podemos calcular el tiempo \(t_R\) que le toma a Antonio obtener esa comida:

\begin{equation}
t_R=\frac{x_R}{v_R},
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
\label{tr}
t_R=\frac{3\,\text{m}}{0.05\,\text{m/s}}=60\,\text{s}.
\end{equation}

Finalmente, calculemos el tiempo para Bob, usando el sistema de coordenadas que se muestra en la figura 3.

Figura 3: Para la ecuación de movimiento de Bob, colocamos el sistema de coordenadas en la colonia con el eje X positivo a la derecha.

Debido a que a Bob le gusta hacer sus viajes por pasos, primero calculemos su posición después del primer paso, es decir, después de que hayan pasado 10 segundos. Para este propósito, usaremos la ecuación \eqref{motion} con velocidad inicial igual a cero y posición inicial igual a cero, a saber

\begin{equation}
x_B=\frac{1}{2}at^2,
\end{equation}

donde \(a=1\,\text{cm/s}^2=0.01\,\text{cm/s}^2\). Después de 10 segundos, la posición de Bob es

\begin{equation}
x_B=\frac{1}{2}(0.01\,\text{cm/s}^2)(10\,\text{s})^2=0.5\,\text{m},
\end{equation}

Así, Bob avanza \(0.5\,\text{m}\) durante los 10 segundos en que se mueve a aceleración constante. Luego descansa durante 5 segundos y comienza su viaje nuevamente. Por lo tanto, en \(t = 25\,\text{s}\) su posición es \(x_B=1\,\text{m}\). Descansa de nuevo durante 5 segundos, lo que nos da un total de \(30\) segundos. En los siguientes 10 segundos, viaja 0,5 metros adicionales, por lo tanto, en \(t=40\,\text{s}\) su posición es \(x_B=1.5\,\text{m}\). Descansa de nuevo durante 5 segundos y en \(t=45\,\text{s}\) comienza a acelerar nuevamente durante 10 segundos para finalmente llegar a \(x_B=2\,\text{m}\). La cantidad total de tiempo que tarda Bob es entonces

\begin{equation}
\label{tb}
t_B=55\,\text{s}.
\end{equation}

b) Para la parte final del problema, necesitamos averiguar qué hormiga llega primero y cuál llega de última.

Ahora que todas las hormigas han encontrado comida, regresan a la colonia, moviéndose con una rapidez máxima constante de \(v _ {\ text{max}}=5\,\text{cm/s}=0.05\,\text{m/s}\). Por lo tanto, tendremos que encontrar el tiempo \(t’\) que le toma a cada hormiga regresar a la colonia. Para este propósito y debido a que la aceleración es cero en el camino de regreso para todas las hormigas, usaremos la ecuación \eqref{motion} otra vez para escribir

\begin{equation}
x=v_{\text{max}}t’,
\end{equation}

donde \(x\) será la distancia desde la comida a la colonia y \(t’\) el tiempo que le toma a cada hormiga regresar a la colonia. Resolviendo para \(t’\), obtenemos

\begin{equation}
t’=\frac{x}{v_{\text{max}}}.
\end{equation}

Entonces calculemos el tiempo para Antonio:

\begin{equation}
\label{tap}
t’_A=\frac{2\,\text{m}}{0.05\,\text{m/s}}=40\,\text{s}.
\end{equation}

Para Ryant tenemos

\begin{equation}
\label{trp}
t’_R=\frac{3\,\text{m}}{0.05\,\text{m/s}}=60\,\text{s}.
\end{equation}

Y para Bob obtenemos

\begin{equation}
\label{tbp}
t’_B=\frac{2\,\text{m}}{0.05\,\text{m/s}}=40\,\text{s}.
\end{equation}

El tiempo total \(T\) para cada hormiga será la suma del tiempo que tarda la hormiga en llegar a la comida y el tiempo que tarda la hormiga en regresar a la colonia. Para Antonio, el tiempo total \(T_A\) es

\begin{equation}
T_A=t_A+t’_A,
\end{equation}

lo que, después de utilizar los resultados numéricos dados por las ecuaciones \eqref{ta} y \eqref{tap}, es

\begin{equation}
T_A=66.7\,\text{s}+40\,\text{s}=106.7\,\text{s}.
\end{equation}

Para Ryant, el tiempo total \(T_R\) es

\begin{equation}
T_R=t_R+t’_R,
\end{equation}

lo que, después de utilizar los resultados numéricos dados por las ecuaciones \eqref{tr} y \eqref{trp}, es

\begin{equation}
T_R=60\,\text{s}+60\,\text{s}=120\,\text{s}.
\end{equation}

Finalmente, el tiempo total para Bob \(T_B\) es

\begin{equation}
T_B=t_B+t’_B,
\end{equation}

que, después de usar los resultados dados por las ecuaciones \eqref{tb} y \eqref{tbp}, es

\begin{equation}
T_A=55\,\text{s}+40\,\text{s}=95\,\text{s}.
\end{equation}

Por lo tanto, la hormiga que menos tiempo tarda en encontrar comida y luego volver a la colonia es Bob, seguido de Antonio y luego Ryant. Es decir, Bob llega primero con comida a la colonia, seguido de Antonio, y el último en llegar es Ryant.

[/mepr-show]

You need to be registered and logged in to take this quiz. Log in