Cascarón esférico!

a) Utilice la ley de Gauss en cada región. Expresar las cargas en términos de la densidad será útil para obtener la carga total en cada caso.

b) Cada distancia corresponde a una región específica, así que tenga cuidado con el campo eléctrico que va a utilizar.

a) La ley de Gauss establece:

\begin{equation*}
\oint_S \vec{E}\cdot d \vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
\end{equation*}

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donde la integral para el diferencial del área será \(4 \pi r^2 \), ya que para las tres regiones se requiere una esfera para encerrar otra esfera.

para \(r<a\), \(Q_{\text{enc}} = 0\), entonces:

\begin{equation*}
E=0\quad \text{for}\quad r<a.
\end{equation*}

Para \(a<r<b\), \(Q_{\text{enc}} = \rho V_{\text{enc}} \). Reemplazando \(\rho \) y \(V_ {\text{enc} } \) en términos de las dimensiones, entonces tenemos que: \begin{equation*} Q_{\text{enc}}=\frac{Q(r^3-a^3)}{(b^3-a^3)}. \end{equation*} Entonces, el campo eléctrico es: \begin{equation*} \vec{E}=\frac{Q(r^3-a^3)}{(b^3-a^3)4\pi\epsilon_0 r^2}\,\hat{\textbf{r}}\quad \text{for}\quad a\leq r\leq b. \end{equation*} Para \(r>b\), \(Q_{\text{enc}}= Q \), entonces:

\begin{equation*}
\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\,\hat{\textbf{r}}\quad \text{for} \quad r>b.
\end{equation*}

b) Para \(r=20\,\text{cm} < a\), entonces: \begin{equation*} E=0\,\text{N/C}\quad \text{for}\quad r=20\,\text{cm}. \end{equation*} Para \(r=40\,\text{cm}\) (que es mayor que \(a \) y menor que \(b \)), tenemos: \begin{equation*} \vec{E}\approx1.62\times 10^{9}\,\text{N/C}\,\hat{\textbf{r}}\quad\text{for}\quad r=40\,\text{cm}. \end{equation*} Finalmente, para \(r=60\,\text{cm}>b \):

\begin{equation*}
\vec{E}\approx 1.25\times 10^{9}\,\text{N/C}\,\hat{\textbf{r}}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Nos han pedido que encontremos el campo eléctrico en tres regiones diferentes definidas por el aislante. La estrategia que seguiremos para resolver este problema es la siguiente: usaremos la ley de Gauss en cada región, usando una superficie gaussiana que sea adecuada para la simetría del problema, es decir, una superficie esférica. El espacio se divide en tres regiones, como se ve en la siguiente figura. Si el radio interno de la esfera aislante es \(a \) y su radio externo es \(b \), las regiones son: (i) dentro del radio interno de la esfera aislante \(r< a\), (ii) el cascarón esférico aislante \(a\leq r\leq b\), y (iii) fuera de la esfera aislante \(r> b\).

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En cada región usaremos la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico \(\vec{E} \):

\begin{equation}
\label{gauss}
\oint_S \vec{E}\cdot d \vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
\end{equation}

donde el lado izquierdo, es la integral del flujo eléctrico a través de la superficie gaussiana \(S \). \(d \vec{A} \) es un vector cuya magnitud es el diferencial de área superficial \(dA \), y su dirección es perpendicular a la superficie \(S \) en cualquier punto. En el lado derecho de la ecuación \eqref{gauss}, encontramos el término \(Q_{\text{enc} } \), que es la carga encerrada por la superficie \(S \), y \(\epsilon_0 \), que es una constante física conocida como la permitividad del espacio libre.

Debido a que en las tres regiones nuestras superficies gaussianas serán esféricas, podemos extrapolar el lado izquierdo de la ecuación \eqref{gauss} para obtener una expresión general para cualquier configuración de carga esféricamente simétrica. Debido a la simetría esférica, el valor del campo eléctrico en la superficie esférica \(S \) tiene una magnitud constante, y si la carga encerrada es positiva, el campo estará orientado radialmente hacia afuera. Si la carga encerrada es negativa, el campo eléctrico estará orientado radialmente hacia adentro. Porque, en este caso particular, solo tenemos carga positiva, el campo eléctrico \(\vec{E} \) se dirigirá radialmente hacia afuera, como se ve en la figura 2.

Entonces, podemos escribir que

\begin{equation}
\label{efield}
\vec{E}=E\,\hat{\textbf{r}},
\end{equation}

donde \(E \) es la magnitud del campo eléctrico y \(\hat {\textbf{r} } \) es el vector unitario en dirección radial.

En el caso de la esfera, el vector \(d \vec{A} \) se puede escribir como

\begin{equation}
\label{da}
d\vec{A}=dA\,\hat{\textbf{r}}.
\end{equation}

Observe que el vector \(\hat {\textbf{r} } \) es un vector unitario y siempre es perpendicular a la superficie esférica \(S \); así, utilizando las ecuaciones \eqref{efield} y \eqref{da}, podemos escribir la ecuación \eqref{gauss} para nuestro caso particular como

\begin{equation}
\label{gauss2}
\oint_{S} (\vec{E}\,\hat{\textbf{r}})\cdot (dA\,\hat{\textbf{r}}) =\frac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0}.
\end{equation}

Ahora, podemos realizar el producto escalar dentro de la integral de la ecuación \eqref{gauss2}; recuerde que el producto escalar de dos vectores \(\vec{a} \) y \(\vec{b} \) se puede calcular como \(\vec{a} \cdot \vec{b} = ab \, \cos (\phi) \), donde \(a \) y \(b \) son las magnitudes de los vectores y \(\phi \) es el ángulo entre ellos. En nuestro caso, ambos vectores van en la misma dirección, por lo que el ángulo entre ellos es cero; por lo tanto,

\begin{equation}
\label{dotprod}
(E\,\hat{\textbf{r}})\cdot(dA\,\hat{\textbf{r}})=E dA \cos(0)= E dA.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{dotprod} en la ecuación \eqref{gauss2}, podemos escribir

\begin{equation}
\label{gauss4}
\oint_S E_\circ dA=\frac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0}.
\end{equation}

Observe que la magnitud del campo eléctrico de la esfera \(E \) es constante a lo largo de toda la superficie \(S \), por lo que podemos extraerlo de la integral
\begin{equation}
\label{gauss5}
E\oint_S dA=\frac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0},
\end{equation}

y realizamos la integral, que nos da el área de la superficie de \(S \), una cantidad que denotamos por \(A_S \)

\begin{equation}
\label{area}
\oint_S dA=A_S.
\end{equation}

Recuerde que \(S \) es una esfera de radio \(r \), entonces \(A_S = 4 \pi r^2 \) y la ecuación \eqref{gauss5} (junto con \eqref{area}) se convierte en

\begin{equation}
\label{gaussesfera}
E(4\pi r^2)=\frac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0},
\end{equation}

que es una simplificación general de la ley de Gauss cuando la distribución de carga es esféricamente simétrica.

Ahora, pasemos a calcular el campo eléctrico para las tres regiones. Comencemos con la región (i), el interior del cascarón esférico. Dibujamos una superficie gaussiana de radio \(r< a \), como se ve en la figura 3.

Notemos que no hay carga encerrada por esta superficie para cualquier \(r< a \), por lo que \(Q_{\text{enc} } = 0 \) y la ecuación \eqref{gaussesfera} se convierte en

\begin{equation}
E(4\pi r^2)=0,
\end{equation}

lo que implica

\begin{equation}
E=0\quad \text{for}\quad r<a.
\end{equation}

Examinemos ahora la región (ii). Se dice que la carga se distribuye uniformemente a través del cascarón. Como resultado, la carga incluida será una función de \(r \). Debido a esta uniformidad, podemos definir una densidad de carga volumétrica \(\rho \) como la relación entre la carga total \(Q\) y el volumen del cascarón \(V \); explícitamente,

\begin{equation}
\label{rho}
\rho=\frac{Q}{V}.
\end{equation}

El volumen del cascarón se puede calcular como el volumen de una esfera o radio \(b \) menos el volumen de una esfera de radio \(a \); a saber,

\begin{equation}
V=\frac{4\pi b^3}{3}-\frac{4\pi a^3}{3},
\end{equation}

que, después de factorizar los términos comunes, se puede escribir como

\begin{equation}
\label{volume}
V=\frac{4\pi (b^3-a^3)}{3}.
\end{equation}

Utilizando la expresión para \(V \) dada por la ecuación \eqref{volume} en la ecuación \eqref{rho}, podemos escribir

\begin{equation}
\label{rho2}
\rho=\frac{3Q}{4\pi (b^3-a^3)}.
\end{equation}

Esta densidad de carga volumétrica \(\rho \) nos permitirá calcular \(Q_{\text{enc} }\) de la siguiente manera

\begin{equation}
\label{qenc}
Q_{\text{enc}}=\rho V_{\text{enc}},
\end{equation}

donde \(V_{\text{enc} } \) es el volumen del cascarón que fue encerrado por la superficie \(S \). Este volumen cerrado se puede calcular como el volumen de una esfera de radio \(r \) menos el volumen de una esfera de radio \(a \), como se puede ver en la siguiente figura; a saber,

\begin{equation}
V_{\text{enc}}=\frac{4\pi r^3}{3}-\frac{4\pi a^3}{3},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{venc}
V_{\text{enc}}=\frac{4\pi (r^3-a^3)}{3}.
\end{equation}

Usando las expresiones explícitas para \(\rho \) y \(V_{\text{enc} } \) dadas por las ecuaciones \eqref{rho2} y \eqref{venc} en \eqref{qenc}, obtenemos

\begin{equation}
Q_{\text{enc}}=\frac{3Q}{4\pi (b^3-a^3)} \cdot \frac{4\pi (r^3-a^3)}{3},
\end{equation}

que es equivalente a

\begin{equation}
\label{qenc2}
Q_{\text{enc}}=\frac{Q(r^3-a^3)}{(b^3-a^3)}.
\end{equation}

Usando este resultado en \eqref{gaussesfera} para la región (ii), obtenemos

\begin{equation}
E(4\pi r^2)=\frac{Q(r^3-a^3)}{(b^3-a^3)\epsilon_0},
\end{equation}

donde despejamos \(E \) para obtener

\begin{equation}
E=\frac{Q(r^3-a^3)}{(b^3-a^3)4\pi\epsilon_0 r^2},
\end{equation}

y en forma vectorial, según la ecuación \eqref{efield}

\begin{equation}
\label{eii}
\vec{E}=\frac{Q(r^3-a^3)}{(b^3-a^3)4\pi\epsilon_0 r^2}\,\hat{\textbf{r}}\quad \text{for}\quad a\leq r\leq b.
\end{equation}

Finalmente, para la región (iii), notamos que toda la carga \(Q \) del cascarón aislante está encerrada por la superficie gaussiana \(S \), como se ve en la figura 5. Esto implica que

\begin{equation}
\label{q3}
Q_{\text{enc}}=Q.
\end{equation}

Usando la ecuación \eqref{gaussesfera} y el resultado para \(Q_{\text{enc} } \) de la ecuación \eqref{q3}, obtenemos

\begin{equation}
E4\pi r^2=\frac{Q}{\epsilon_0},
\end{equation}

donde se puede despejar \(E \) para obtener

\begin{equation}
E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2},
\end{equation}

o en forma vectorial (según la ecuación \eqref{efield})

\begin{equation}
\label{e3}
\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\,\hat{\textbf{r}}\quad \text{for} \quad r>b.
\end{equation}

b) Ahora usaremos los valores numéricos para calcular el campo eléctrico para los valores dados de \(r \). Comencemos con \(r=20\,\text{cm}\). Porque el radio interno del cascarón es \(30 \, \text{cm}\), estamos claramente en la región (i), por lo que el campo eléctrico es

\begin{equation}
E=0\,\text{N/C}\quad \text{for}\quad r=20\,\text{cm}.
\end{equation}

Para \(r = 40 \, \text{cm} \), estamos en la región (ii), por lo que usaremos la ecuación \eqref{eii} ; a saber,

\begin{equation*}
\vec{E}=\frac{(0.05\,\text{C})((0.4\,\text{m})^3-(0.3\,\text{m})^3)}{((0.45\,\text{m})^3-(0.3\,\text{m})^3)4\pi (8.854\times 10^{-12}\,\text{F/m})(0.4\,\text{m})^2}\,\hat{\textbf{r}},
\end{equation*}

\begin{equation}
\vec{E}\approx1.62\times 10^{9}\,\text{N/C}\,\hat{\textbf{r}}\quad\text{for}\quad r=40\,\text{cm}.
\end{equation}

Finalmente, para \(r = 60 \, \text{cm} \) estamos en la región (iii), entonces usaremos la ecuación \eqref{e3}; explícitamente,

\begin{equation*}
\vec{E}=\frac{0.05\,\text{C}}{4\pi(8.854\times 10^{-12}\,\text{F/m})(0.6\,\text{m})^2}\,\hat{\textbf{r}},
\end{equation*}

\begin{equation}
\vec{E}\approx 1.25\times 10^{9}\,\text{N/C}\,\hat{\textbf{r}}.
\end{equation}

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