¡Avión de carga!

Utilice el teorema trabajo-energía para cada caso. Utilice la relación de masas para encontrar el porcentaje de carga que debe retirarse del avión.

El teorema trabajo-energía establece:

\begin{equation*}
W = K_f – K_i.
\end{equation*}

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Considere que \(v_t \) es la rapidez necesaria para iniciar el vuelo. Dado que con la carga actual el avión alcanza una rapidez de \(v_f = 0.9 v_t \), dividiendo cada trabajo obtenemos:

\begin{equation*}
\frac{W}{W}=\frac{\frac{1}{2}m’v_t^2}{\frac{81}{200}mv_t^2},
\end{equation*}

donde podemos encontrar una relación entre \(m \) y \(m’\), ya que el trabajo realizado es el mismo. La masa del avión y la carga se pueden relacionar como:

\begin{equation*}
m_c = m – m_p,
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
m_c’ = m’ – m_p.
\end{equation*}

Entonces, el porcentaje es:

\begin{equation*}
\epsilon=\frac{|m_c’-m_c|}{|m_c|}\times 100 \%,
\end{equation*}

o numéricamente

\begin{equation*}
\epsilon=57 \%.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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El problema nos pide que encontremos el porcentaje de carga que el avión necesita descargar para tener un despegue exitoso. Usaremos el teorema trabajo-energía para encontrar una relación entre el trabajo \(W \) realizado por el motor del avión a lo largo de la pista de despegue y su cambio de rapidez (que está relacionado con el cambio en la energía cinética \(K \)). En particular, el teorema establece que

\begin{equation}
\label{workenergy}
W=K_f-K_i,
\end{equation}

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donde \(K_f \) y \(K_i \) son las energías cinéticas al final y al comienzo de la pista, respectivamente. La expresión de la energía cinética en términos de la masa total del avión y su rapidez es

\begin{equation}
K=\frac{1}{2}mv^2.
\end{equation}

Usando esta expresión en la ecuación \eqref{workenergy} , obtenemos

\begin{equation}
W=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2,
\end{equation}

donde \(W \) es el trabajo neto en el avión. Observe que se desprecia el trabajo de la fricción (como dice el enunciado), y observe también que ni la fuerza normal ni el peso hacen algún trabajo porque estas fuerzas son perpendiculares al desplazamiento del plano. Por lo que la \(W \) es en realidad el trabajo realizado por el motor del avión. Dado que la rapidez al comienzo de la pista es cero, esta ecuación se convierte en

\begin{equation}
\label{w1}
W=\frac{1}{2}mv_f^2.
\end{equation}

Ahora, con la carga actual, el avión tiene una masa \(m \) y alcanza una rapidez que es igual a \(v_{f} = 0.9 \, v_t \), donde \(v_t \) es la rapidez necesaria para que el avión despegue. Entonces podemos escribir, usando la ecuación \eqref{w1} , la siguiente relación:

\begin{equation}
W=\frac{1}{2}m\left(0.9 v_t\right)^2,
\end{equation}

que se simplifica a

\begin{equation}
\label{w2}
W=\frac{81}{200}mv_t^2.
\end{equation}

Ahora, necesitamos encontrar la carga que el avión necesita perder para poder alcanzar la rapidez \(v_t \). Tome \(m’\) la masa después de perder precisamente la masa de la carga que permite que el avión despegue. En tal caso, la ecuación \eqref{w1} se puede escribir como

\begin{equation}
\label{w3}
W=\frac{1}{2}m’v_t^2.
\end{equation}

Observe que el trabajo \(W \) realizado por el plano en ambos casos (con masa \(m \) y \(m’\)) es el mismo, porque asumimos que el motor hace una fuerza constante y la distancia recorrida por la pista de despegue es la misma en ambos casos. Entonces podemos dividir la ecuación \eqref{w3} por la ecuación \eqref{w2} y así llegar a

\begin{equation}
\frac{W}{W}=\frac{\frac{1}{2}m’v_t^2}{\frac{81}{200}mv_t^2}.
\end{equation}

Después de algunas simplificaciones, esto se convierte en

\begin{equation}
1=\frac{100m’}{81m}.
\end{equation}

Por lo tanto, podemos encontrar la masa total del avión y la carga \(m’\) de manera tal que el avión pueda despegar. Si hacemos esto, obtenemos

\begin{equation}
\label{mp}
m’=\frac{81m}{100}.
\end{equation}

Hemos encontrado una relación que involucra la masa total antes y después de perder algo de carga. Sin embargo, lo que queremos es el porcentaje de la masa de la carga que debe abandonar el avión. Entonces podemos escribir

\begin{equation}
m=m_p+m_c,
\end{equation}

donde \(m_p \) es la masa del avión, que no cambia, y \(m_c \) es la masa de la carga, que cambia a \(m_c ‘\) cuando el avión pierde carga. Resolviendo para la masa de la carga \(m_c \), obtenemos

\begin{equation}
\label{mc}
m_c=m-m_p.
\end{equation}

Para el caso en el que el avión pierde algo de la carga, podemos escribir

\begin{equation}
\label{mcp}
m_c’=m’-m_p.
\end{equation}

A nosotros nos interesa el porcentaje \(\epsilon \) del cambio en la carga , eso es,

\begin{equation}
\epsilon=\frac{|m_c’-m_c|}{|m_c|}\times 100 \%.
\end{equation}

Después de usar aquí las expresiones para las masas de las cargas dadas en \eqref{mc} y \eqref{mcp} , obtenemos

\begin{equation}
\epsilon=\frac{|m’-m_p-(m-m_p)|}{|m_c|}\times 100 \%.
\end{equation}

Esto se simplifica a

\begin{equation}
\epsilon=\frac{|m’-m|}{|m_c|}\times 100 \%.
\end{equation}

Usando el hecho de que la masa de la carga es un tercio de la masa total, \(m_c = m/3 \), y la expresión para \(m’\) dada en la ecuación \eqref{mp} , obtenemos que

\begin{equation}
\epsilon=\frac{|81m/100-m|}{m/3}\times 100 \%
\end{equation}

Después de hacer la suma de fracciones, esto produce

\begin{equation}
\epsilon=\frac{|-19/100m|}{m/3}\times 100 \%.
\end{equation}

Tomando el valor absoluto y cancelando la masa \(m \), obtenemos

\begin{equation}
\epsilon=\frac{19/100}{1/3}\times 100 \%.
\end{equation}

Numéricamente, esto es

\begin{equation}
\epsilon=57 \%.
\end{equation}

Por lo tanto, el avión debe perder al menos el 57% de su masa de carga inicial para poder despegar con éxito.

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