¡Trabajo para construir una matriz triangular de cargas!

Utilice la fórmula del potencial eléctrico y relacione esto con el trabajo realizado.

El potencial eléctrico dado como:

\begin{equation*}
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}.
\end{equation*}

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Basado en el principio de superposición, el potencial eléctrico en un vértice específico es la suma del potencial eléctrico de las otras dos cargas. Entonces, dado que todas las cargas son iguales, cada potencial se puede reescribir como:

\begin{equation*}
V=\frac{q}{2\pi\epsilon_0 \ell}.
\end{equation*}

El trabajo realizado es:

\begin{equation*}
W = \sum V_i q_i,
\end{equation*}

o:

\begin{equation*}
W=\frac{3q^2}{2\pi\epsilon_0 \ell}.
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
W\approx 6.34 \times 10^{-5} \, \text{J}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Para calcular la cantidad de trabajo necesaria para ensamblar la matriz triangular de cargas eléctricas, debemos encontrar el potencial eléctrico en cada vértice.

Primero, dibujemos la matriz triangular de cargas y asignemos nombres según sus posiciones. El nombre de los vértices es el mismo que el del subíndice de las cargas. Entonces el vértice 1 es el de la izquierda, el vértice 2 es el de arriba y el vértice 3 es el de la derecha (ver figura 1).

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El trabajo para ensamblar las cargas \( W \) se puede calcular como

\begin{equation}
\label{workthistime}
W=\sum_{i=1}^{3}q_iV_i,
\end{equation}

donde \( q_i \) es la carga en cada vértice y \( V_i \) es el potencial eléctrico en el punto \( i \) generado por todas las cargas a su alrededor.

Para \( i = 1 \), tenemos que \( V_1 \) es el potencial eléctrico en el vértice izquierdo del triángulo generado por las cargas \( q_2 \) y \( q_3 \). El potencial eléctrico \( V \) generado por una carga puntual \( q \) se puede calcular usando la siguiente expresión

\begin{equation}
\label{defV}
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r},
\end{equation}
donde \( r \) es la distancia desde la carga \( q \) al punto donde se calcula el potencial eléctrico.

Según el principio de superposición, el potencial eléctrico en el vértice 1 es la suma del potencial eléctrico en el vértice 1 producido por \( q_2 \) ( \( V_{12} \)) y el potencial eléctrico en el vértice 1 producido por \( q_3 \) ( \( V_{13} \)); a saber,

\begin{equation}
\label{v1}
V_1=V_{12}+V_{13}.
\end{equation}

Usando la expresión para \( V \) dada en \eqref{defV} en cada término del lado derecho de la ecuación \eqref{v1}, obtenemos

\begin{equation}
\label{v12}
V_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_{12}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_3}{r_{13}},
\end{equation}

donde \( r_{12} \) y \( r_{13} \) son las distancias entre los vértices 1-2 y 1-3 respectivamente. Debido a que las cargas se colocan en los vértices de un triángulo equilátero, tanto \( r_{12} \) y \( r_{13} \) son iguales a \( \ell \). Entonces, la ecuación \eqref{v12} se puede escribir como

\begin{equation}
V_{1}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{\ell}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_3}{\ell},
\end{equation}

donde podemos factorizar el término \( \frac{1} {4 \pi \epsilon_0 \ell} \) para obtener

\begin{equation}
V_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0\ell}\left(q_2+q_3\right).
\end{equation}

Debido a que todas las cargas son iguales \( q_1 = q_2 = q_3 = q \), la expresión anterior se puede escribir como

\begin{equation}
V_1=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0\ell},
\end{equation}

que después de la simplificación es

\begin{equation}
\label{v111}
V_1=\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell}.
\end{equation}

La matriz triangular es simétrica, lo que significa que la distancia de cada carga a otra es siempre \( \ell \) y todas las cargas son iguales a \( q \). No importa qué vértice elijamos, el potencial será el mismo; por lo tanto, el mismo análisis que hicimos para \( V_1 \) podría haberse hecho para \( V_2 \) o \( V_3 \), y habríamos obtenido el mismo resultado que en \eqref{v111} . Luego,

\begin{equation}
\label{v222}
V_2=\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell},
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{v333}
V_3=\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell}.
\end{equation}

Haciendo explícita la suma en la ecuación \eqref{workthistime}, obtenemos

\begin{equation}
W=q_1V_1+q_2V_2+q_3V_3,
\end{equation}

que después de usar las ecuaciones \eqref{v111} , \eqref{v222} y \eqref{v333} se convierte en

\begin{equation}
W=q_1\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell}+q_2\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell}+q_3\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell},
\end{equation}

y, después de usar el hecho de que todas las cargas son iguales a \( q \) en la ecuación anterior, se obtiene

\begin{equation}
W=q\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell}+q\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell}+q\frac{q}{2\pi\epsilon_0\ell},
\end{equation}

\begin{equation}
W=3\frac{q^2}{2\pi\epsilon_0 \ell}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos dados en el sistema SI (\( q = 4.2 \times 10 ^{-9} \,\text{C} \) y \( \ell = 0.015 \, \text{m} \)):

\begin{equation}
W=3\frac{(4.2\times10^{-9}\,\text{C})^2}{2\pi(8.854\times 10^{-12}\,\text{F/m})(0.015\,\text{m})},
\end{equation}

\begin{equation}
W\approx 6.34\times 10^{-5}\,\text{J}.
\end{equation}

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