¡Las gotas de lluvia siguen cayendo sobre mi cabeza!

a) Aplique la Conservación de energía para encontrar la velocidad.

b) En este caso la energía mecánica \({not} \) se conserva. Debe considerar el trabajo realizado por otras fuerzas que puedan disipar la energía mecánica.

a) La Ley de Conservación de la Energía se puede escribir como:

\begin{equation*}
mgh=\frac{1}{2}mv^2.
\end{equation*}

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Despejando para \(v \), tenemos:

\begin{equation*}
v=\sqrt{2gh}.
\end{equation*}

Remplazando los valores numéricos, finalmente tenemos que:

\begin{equation*}
v\approx 600\,\text{m/s}.
\end{equation*}

b) Incluyendo el trabajo realizado por otras fuerzas, la ecuación se puede escribir como:

\begin{equation*}
E_f=E_i+W_{f},
\end{equation*}

donde \(E_f = \frac{1}{2}mv^2\) y \(E_i = mgh\). Despejando \(W_f \) con valores numéricos nos da:

\begin{equation}
W_{f} \approx -5.38 \, \text{J}.
\end{equation}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Para encontrar la velocidad de la gota de lluvia justo antes de tocar el suelo, usaremos la conservación de la energía mecánica. En este caso, la única fuerza relevante será la gravedad porque estamos ignorando la fricción del aire, por lo que sabemos que la energía mecánica se conserva (el peso es una fuerza conservativa). Al comienzo de su movimiento, la gota solo tiene energía potencial gravitacional y no tiene energía cinética ya que no se está moviendo. Entonces, la expresión de la energía mecánica inicial es

\begin{equation}
\label{ei}
E_i=mgh,
\end{equation}

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donde \(m \) es la masa de la gota, \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) la aceleración gravitacional en la Tierra y \(h = 18.3 \, \text{km} = 18300 \, \text{m} \) la altura inicial de la gota, como se muestra en la figura 1.

Figura 1: Ilustración de la trayectoria que sigue una gota de lluvia. El sistema de coordenadas se coloca en el suelo de modo que la posición inicial de la gota de lluvia a lo largo del eje Y sea \(h \).

La energía mecánica cuando la gota toca el suelo es puramente cinética ya que tiene una velocidad distinta de cero y su altura es cero. Para la energía mecánica podemos escribir que para el momento justo antes de que la gota golpee el suelo:

\begin{equation}
\label{ef}
E_f=\frac{1}{2}mv^2,
\end{equation}

donde \(v \) es la velocidad de la gota en ese punto. La conservación de la energía mecánica nos permite escribir que

\begin{equation}
E_i=E_f,
\end{equation}

y explícitamente, usando las expresiones de las ecuaciones \eqref{ei} y \eqref{ef} , podemos escribir

\begin{equation}
mgh=\frac{1}{2}mv^2.
\end{equation}

Cancelando la masa \(m \), obtenemos que

\begin{equation}
gh=\frac{1}{2}v^2.
\end{equation}

Podemos despejar la velocidad \(v \) de la siguiente manera:

\begin{equation}
v^2=2gh.
\end{equation}

Ahora hacemos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener

\begin{equation}
v=\sqrt{2gh}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, finalmente tenemos que

\begin{equation}
v=\sqrt{2(9.8\,\text{m/s}^2)(18300\,\text{m})},
\end{equation}

\begin{equation}
v\approx 600\,\text{m/s},
\end{equation}

que es casi el doble de la velocidad del sonido en el aire. Esto no es plausible, por lo que en el siguiente punto calcularemos el trabajo realizado por la fuerza de fricción que hace que la gota alcance una velocidad terminal.

b) Si ahora incluimos la fricción debida a la interacción de la gota de lluvia con el aire, y sabemos que la fricción es una fuerza no-conservativa, lo que significa que va a cambiar la energía mecánica de la gota (la energía mecánica de la gota no se va a conservar). En particular, la energía mecánica final de la gota será la misma que la energía mecánica inicial más todo el trabajo (energía) que se suma o se resta por las fuerzas no conservativas que actúan sobre la gota. En este caso, la única fuerza no conservativa es la fricción, por lo que podemos escribir que

\begin{equation}
E_f=E_i+W_{f}.
\end{equation}

Observe que dado que el trabajo de la fricción es negativo (porque la fricción es antiparalela al desplazamiento), entonces el \(W_{f} \) será negativo y, por lo tanto, \(E_f \) será menor que \(E_i \). Si despejamos el trabajo hecho por la fricción, tenemos que

\begin{equation}
W_{f}=E_f-E_i.
\end{equation}

Ahora todavía podemos usar las mismas expresiones para las energías inicial y final \(E_i \) y \(E_f \) encontradas anteriormente (las expresiones para las energías potencial y cinética), para obtener

\begin{equation}
W_{f}=\frac{1}{2}mv^2-mgh.
\end{equation}

Usando los valores numéricos en unidades SI (\(m = 30 \, \text{mg} = 3 \times 10^{-5} \,\text{kg} \)), obtenemos que

\begin{equation}
W_{f}=\frac{1}{2}(3\times 10^{-5})(5\,\text{m/s})^2-(3\times 10^{-5})(9.8\,\text{m/s}^2)(18300\,\text{m}),
\end{equation}

\begin{equation}
W_{f}\approx -5.38\,\text{J}.
\end{equation}

Como esperábamos, el resultado del trabajo realizado por la fricción es negativo, porque la fricción se opone a la dirección del movimiento. La magnitud \(5.38 \, \text{J} \) de este trabajo nos da la energía perdida por fricción. Debido a que la velocidad terminal y la velocidad obtenida ignorando la fricción difieren en dos órdenes de magnitud, podemos ver lo importante que es tener en cuenta la fricción del aire al modelar el comportamiento de una gota. Y observe que la cantidad de energía perdida a medida que cae la gota de lluvia debido a la fricción es aproximadamente la misma cantidad de energía liberada por la explosión de 1 gramo de TNT.

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