¡Triple batería!

a) Suponiendo que la dirección de la corriente está determinada por la batería, aplique la ley de Kirchhoff y la ley de Ohm para calcular la corriente.

b) Aplique la ley de Ohm para resolver el voltaje dado el valor conocido de la corriente.

a) Podemos escribir:

\begin{equation*}
\ sum V_{up} = \ suma V_{down} .
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Para \ \( I_1 \), y aplicando la ley de Ohm a cada voltaje:

\begin{equation*}
V_1 = I_1 R_1 + (I_1 – I_2) R_2.
\end{equation*}

Para \ \( I_2 \), y también aplicando la Ley de Ohm a cada voltaje:

\begin{equation*}
0 = V_1 + V_2 + (I_2 – I_3) R_3 + (I_2 – I_1) R_2.
\end{equation*}

Para \ \( I_3 \), y también aplicando la Ley de Ohm a cada voltaje:

\begin{equation*}
V_3 + V_2 = (I_3 – I_2) R_3 + I_3 R_4.
\end{equation*}

Para las ecuaciones, \ \( I_1 \), \ \( I_2 \) y \ \( I_3 \) son las variables desconocidas. Resolviendo el sistema \ \( 3 \ times 3 \), obtenemos:

\begin{equation*}
I_1 \ aproximadamente -0,34 \, \ texto{A} ,
\end{equation*}

\begin{equation*}
I_2 \ approx -1.74 \, \ text{A} ,
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
I_3 \ approx 2.06 \, \ text{A} .
\end{equation*}

Para \ \( R_1 \), \ \( I_{R1} = 0.34 \, \ texto{A} \) hacia arriba.

Para \ \( V_1 \) y \ \( R_2 \), \ \( I_{R2} = 1,41 \, \ texto{A} \) hacia arriba.

Para \ \( V_2 \) y \ \( R_3 \), \ \( I_{R3} = 3,82 \, \ texto{A} \) hacia abajo.

Para \ \( V_3 \) y \ \( R_4 \), \ \( I_{R4} = 2.07 \, \ texto{A} \) hacia arriba.

b) Por la ley de Ohm \ \( V = IR \) tenemos:

\begin{equation*}
V_{R_1} = 85 \, \ texto{V} .
\end{equation*}

\begin{equation*}
V_{R_2} = 141 \, \ texto{V} .
\end{equation*}

\begin{equation*}
V_{R_3} = 114,6 \, \ texto{V} .
\end{equation*}

\begin{equation*}
V_{R_4} = 165,6 \, \ texto{V} .
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) Necesitamos encontrar la magnitud y la dirección de la corriente para cada elemento en el circuito. Para resolver este problema debemos utilizar las reglas de Kirchhoff. La ley de voltaje de Kirchhoff indica que a lo largo de cualquier camino cerrado, la suma de voltajes \ \( V_i \) siempre debe ser igual a cero. Esto nos da:

\begin{equation}
\label{kirch}
\ sum _ {\ text {ruta cerrada}} V_i = 0
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Lo primero que tendremos que hacer es elegir los caminos cerrados que cubren todo el circuito y su orientación. Para cada ruta, asignaremos una \ \( I \) actual que se muestra explícitamente en la Figura 1.

Para calcular el voltaje de una fuente, la dirección en la que se toma el camino es fundamental. Si se toma un camino desde el terminal negativo al terminal positivo de la fuente de voltaje, entonces el voltaje sería positivo. Si el camino tomado va desde el terminal positivo al terminal negativo de la fuente de voltaje, entonces el voltaje sería negativo.

Para una resistencia, siempre hay una caída de voltaje en la dirección de la corriente, luego, de acuerdo con la ley de Ohm, podemos escribir

\begin{equation}
\label{ohm}
V_{R} = -IR,
\end{equation}

donde \ \( I \) es la corriente total que pasa a través de la resistencia y se toma positivamente en la dirección de la ruta y negativa en la dirección opuesta a la ruta.

Comencemos con el primer camino, el más a la izquierda en la figura 1. En este camino, tenemos una fuente y dos resistencias. La dirección de la ruta es tal que va del terminal negativo al terminal positivo, luego el voltaje de la fuente \ \( V_1 \) se toma positivo, es decir

\begin{equation}
\label{v1}
V_{V_1} ^ {\ text {ruta 1}} = V_1.
\end{equation}

Para la resistencia \ \( R_1 \) la única corriente que pasa es \ \( I_1 \) en la dirección de la ruta, luego usando la ecuación \ eqref{ohm} obtenemos

\begin{equation}
\label{r1}
V_{R_1} ^ {\ text {ruta 1}} = – I_1R_1.
\end{equation}

Para la resistencia \ \( R_2 \) la corriente total es \ \( I_1-I_2 \) donde los signos se toman de acuerdo con la dirección de la ruta, luego usando la ecuación \ eqref{ohm} tenemos

\begin{equation}
\label{r2}
V_{R_2} ^ {\ text {ruta 1}} = – (I_1-I_2) R_2.
\end{equation}

Poniendo los resultados de las ecuaciones \ eqref{v1} , \ eqref{r1} y \ eqref{r2} en la ecuación \ eqref{kirch} obtenemos

\begin{equation}
V_{V_1} ^ {\ text {ruta 1}} + V_{R_1} ^ {\ text {ruta 1}} + V_{R_2} ^ {\ text {ruta 1}} = 0,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{sys1}
V_1-I_1R_1- (I_1-I_2) R_2 = 0.
\end{equation}

Ecuación \ eqref{sys1} es la primera de las tres ecuaciones necesarias para resolver todo el sistema. Las otras 2 ecuaciones deben obtenerse de los otros 2 caminos cerrados.

Centrándonos en la ruta central, vemos que involucra dos fuentes y dos resistencias. La dirección de la ruta en ambas fuentes \ \( V_1 \) y \ \( V_2 \) es tal que va del terminal positivo al terminal negativo, entonces el voltaje debe tomarse como negativo, es decir

\begin{equation}
\label{v12}
V_{V_1} ^ {\ text {ruta 2}} = – V_1,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{v22}
V_{V_2} ^ {\ text {ruta 2}} = – V_2.
\end{equation}

Para la resistencia \ \( R_2 \) la corriente que la atraviesa es \ \( I_2-I_1 \) siguiendo la convención de signos establecida anteriormente. Entonces, usando la ecuación \ eqref{ohm} obtenemos

\begin{equation}
\label{r22}
V_{R_2} ^ {\ text {ruta 2}} = – (I_2-I_1) R_2.
\end{equation}

Para la resistencia \ \( R_3 \) la corriente que la atraviesa es \ \( I_2-I_3 \) siguiendo la convención de signos establecida anteriormente. Entonces, usando la ecuación \ eqref{ohm} tenemos

\begin{equation}
\label{r32}
V_{R_3} ^ {\ text {ruta 2}} = – (I_2-I_3) R_3.
\end{equation}

Poniendo los resultados de las ecuaciones \ eqref{v12} , \ eqref{v22} , \ eqref{r22} y \ eqref{r32} en la ecuación \ eqref{kirch} obtenemos

\begin{equation}
V_{V_1} ^ {\ text {ruta 2}} + V_{V_2} ^ {\ text {ruta 2}} + V_{R_2} ^ {\ text {ruta 2}} + V_{R_3} ^ {\ text {ruta 2}} = 0,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{sys2}
-V_1-V_2- (I_2-I_1) R_2- (I_2-I_3) R_3 = 0.
\end{equation}

Centrándonos en el camino de la derecha, vemos que se trata de dos fuentes y dos resistencias. La dirección de la ruta en ambas fuentes \ \( V_2 \) y \ \( V_3 \) es tal que va del terminal negativo al terminal positivo, entonces el voltaje debe tomarse como positivo, explícitamente

\begin{equation}
\label{v23}
V_{V_2} ^ {\ text {ruta 3}} = V_2,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{v33}
V_{V_3} ^ {\ text {ruta 3}} = V_3.
\end{equation}

Para la resistencia \ \( R_3 \) la corriente que la atraviesa es \ \( I_3-I_2 \) siguiendo la convención de signos establecida anteriormente. Entonces, usando la ecuación \ eqref{ohm} obtenemos

\begin{equation}
\label{r33}
V_{R_3} ^ {\ text {ruta 3}} = – (I_3-I_2) R_3.
\end{equation}

Para la resistencia \ \( R_4 \) la corriente que la atraviesa es \ \( I_3 \) donde el signo es positivo, siguiendo la ruta 3. Entonces, usando la ecuación \ eqref{ohm} tenemos

\begin{equation}
\label{r43}
V_{R_4} ^ {\ text {ruta 3}} = – I_3R_4.
\end{equation}

Poniendo los resultados de las ecuaciones \ eqref{v23} , \ eqref{v33} , \ eqref{r33} y \ eqref{r43} en la ecuación \ eqref{kirch} obtenemos

\begin{equation}
V_{V_2} ^ {\ text {ruta 3}} + V_{V_3} ^ {\ text {ruta 3}} + V_{R_3} ^ {\ text {ruta 3}} + V_{R_4} ^ {\ text {ruta 2}} = 0,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{sys3}
V_2 + V_3- (I_3-I_2) R_3-I_3R_4 = 0.
\end{equation}

Ecuaciones \ eqref{sys1} , \ eqref{sys2} y \ eqref{sys3} Forme un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas, a saber, \ \( I_1, \, I_2 \) y \ \( I_3 \).

Usando los valores numéricos del voltaje de las fuentes y la resistencia en las ecuaciones \ eqref{sys1} , \ eqref{sys2} y \ eqref{sys3} terminamos con

\begin{equation}
\label{sy1}
55-250 I_1-100 (I_1-I_2) = 0,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{sy2}
-55-200-100 (I_2-I_1) -30 (I_2-I_3) = 0,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{sy3}
200 + 80-30 (I_3-I_2) -80I_3 = 0,
\end{equation}

donde hemos omitido las unidades para simplificar los cálculos. Sin embargo, dado que hemos utilizado las unidades en el sistema SI, la respuesta para las corrientes también estará en el sistema SI. Después de algunas ecuaciones de álgebra simples \ eqref{sy1} , \ eqref{sy2} y \ eqref{sy3} se puede transformar en (respectivamente)

\begin{equation}
\label{s1}
350I_1-100I_2 = 55,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{s2}
-100I_1 + 130I_2-30I_3 = -255,
\end{equation}

\begin{equation}
\label{s3}
-30I_2 + 110I_3 = 280.
\end{equation}

Multiplicar la ecuación \ eqref{s2} por 3.5 y sumarlo con la ecuación \ eqref{s1} obtenemos

\begin{equation}
350I_1-100I_2 + 3,5 (-100I_1 + 130I_2-30I_3) = 55 + 3,5 (-255),
\end{equation}

que después de la simplificación se convierte en
\begin{equation}
\label{s4}
355I_2-105I_3 = -837.5,
\end{equation}

que junto con la ecuación \ eqref{s3} hace un sistema \ \( 2 \ times 2 \). Resolviendo \ \( I_3 \) en la ecuación \ eqref{s3} obtenemos

\begin{equation}
\label{i3}
I_3 = \ frac {280 + 30I_2}{110} .
\end{equation}

Usando la expresión de la ecuación \ eqref{i3} en la ecuación \ eqref{s4} podemos escribir

\begin{equation}
355I_2-105 \ left (\ frac {280 + 30I_2}{110} \ right) = – 837.5,
\end{equation}

que después de un poco de álgebra se convierte en

\begin{equation}
326.36I_2-267.27 = -837.5.
\end{equation}

La ecuación anterior se puede resolver para \ \( I_2 \) para obtener

\begin{equation}
\label{i2}
I_2 \ approx -1.75 \, \ text{A} .
\end{equation}

Usando el resultado en la ecuación \ eqref{i3} obtenemos

\begin{equation}
\label{i33}
I_3 = \ frac {280 + 30 (-1,75 \, \ text{A} )}{110} \ approx 2.07 \, \ text{A} .
\end{equation}

Finalmente, \( I_1 \) en la ecuación \ eqref{s1} obtenemos

\begin{equation}
I_1 = \ frac {55 + 100I_2}{350} ,
\end{equation}

que después de usar el resultado de la ecuación \ eqref{i2} es

\begin{equation}
\label{i1}
I_1 = \ frac {55 + 100 (-1,75 \, \ text{A} )}{350} \ approx -0.34 \, \ text{A} .
\end{equation}

Por lo tanto, la corriente a través de cada elemento se puede calcular de la siguiente manera.
Para \ \( R_1 \) la corriente es \ \( I_1 = -0,34 \, \ text{A} \). La magnitud de la corriente es \ \( 0.34 \, \ text{A} \) y su dirección es hacia arriba, al contrario de lo que se dibujó en la figura 1 debido al signo negativo en la ecuación \ eqref{i1} .

Para \ \( R_2 \) la corriente que pasa es \ \( I_1-I_2 = -0.34 \, \ text{A} – \( -1,75 \, \ texto{A} ) = 1,41 \, \ texto{A} \) como se ve desde la ruta 1. Porque es positivo, sigue el camino 1 hacia arriba.

Para \ \( R_3 \) la corriente es \ \( I_3-I_2 = 2.07 \, \ text{A} – \( -1,75 \, \ texto{A} ) = 3,82 \, \ texto{A} \) como se ve en la ruta 3. Entonces, debido a que el resultado es positivo, sigue la misma dirección que la ruta 3, es decir, hacia abajo.

Para \ \( R_4 \) el paso actual es \ \( I_3 = 2.07 \, \ text{A} \) en la dirección del camino 3, es decir, hacia arriba.

Para la fuente \ \( V_1 \), la corriente fluye de la terminal negativa a la positiva debido al signo positivo de \ \( \( I_1-I_2) \).

Para la fuente \ \( V_2 \), la corriente fluye desde la terminal negativa a la terminal positiva debido al signo negativo de \ \( I_2-I_3 \), haciendo que la corriente fluya hacia abajo en ese segmento del circuito.

Para la fuente \ \( V_3 \) la corriente es \ \( I_3 \) que es positiva, luego fluye en la misma dirección que la ruta 3 en ese segmento del circuito, fluyendo así desde la terminal negativa a la positiva.

b) La caída de voltaje de las fuentes es solo el valor de la fuente \ \( V_1 \), \ \( V_2 \) y \ \( V_3 \). Para las resistencias debemos usar la ley de Ohm en la ecuación \ eqref{ohm} . Solo tenemos que multiplicar el valor de la corriente dado previamente por la resistencia. Es decir,

\begin{equation}
V_{R_1} = (0.34 \, \ texto{A} ) 250 \, \ Omega = 85 \, \ text{V} .
\end{equation}

\begin{equation}
V_{R_2} = (1,41 \, \ texto{A} ) 100 \, \ Omega = 141 \, \ text{V} ,
\end{equation}

\begin{equation}
V_{R_3} = (3.82 \ texto{A} ) 30 \, \ Omega = 114.6 \, \ text{V} ,
\end{equation}

y finalmente

\begin{equation}
V_{R_4} = (2.07 \, \ texto{A} ) 80 \, \ Omega = 165.6 \, \ text{V} .
\end{equation}

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