¡Competencia de piscina!

Utilice la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza neta y luego divídala por la aceleración debida a la gravedad para encontrar la masa aparente.

La fuerza de flotación es:

\begin{equation*}
F_B = \rho V_{\text{sub}} g.
\end{equation*}

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Por la segunda ley de Newton obtenemos:

\begin{equation*}
F_{\text{net}} = F_B – mg = 0,
\end{equation*}

donde la fuerza neta dividida por \( g \) es:

\begin{equation*}
m_{\text{apparent}}= m-\rho V_{\text{sub}},
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
m_{\text{apparent}}= 19 \, \text{kg}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Para encontrar la masa aparente del padre de Juanito, primero debemos dibujar su diagrama de cuerpo libre asumiendo que está totalmente sumergido en agua, como se ve en la figura 1.

Figura 1: diagrama de cuerpo libre del padre de Juanito totalmente sumergido en agua. El sistema de coordenadas se elige de modo que el eje Y positivo apunte hacia arriba. También se muestran las fuerzas relevantes: el peso \( \vec{W} \) y la fuerza de flotación \( \vec{F} _B\).

En la figura 1, vemos que solo se ejercen dos fuerzas sobre el padre de Juanito: el peso \( \vec{W} \) y la fuerza de flotación \( \vec{F} _B\). La fuerza neta es igual a la fuerza que tendrá que ejercer Juanito sobre su padre. Por lo tanto, dividir esta fuerza neta por la aceleración gravitacional \( g \) nos da la masa aparente del padre de Juanito. Comencemos calculando la fuerza neta \( \vec{F} _{\text{net} } \) como la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre el padre de Juanito, a saber

\begin{equation}
\label{net}
\vec{F}_{\text{net}}=\vec{W}+\vec{F}_B.
\end{equation}

El peso tiene magnitud \( mg \) y se dirige hacia el eje Y negativo, entonces

\begin{equation}
\label{weight}
\vec{W}=-mg\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La fuerza de flotación tiene una magnitud \( \rho V _ {\text{sub} } g \), donde \( \rho \) es la densidad del fluido y \( V _ {\text{sub} } \) es el volumen del cuerpo sumergido. Esta fuerza de flotación se dirige hacia arriba, hacia el eje Y positivo, luego

\begin{equation}
\label{buoyant}
\vec{F}_B=\rho V_{\text{sub}}g\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Usando las expresiones explícitas para el peso y la fuerza de flotación dadas en las ecuaciones \eqref{weight} y \eqref{buoyant} en la ecuación \eqref{net}, obtenemos

\begin{equation}
\label{net2}
\vec{F}_{\text{net}}=-mg\,\hat{\textbf{j}}+\rho V_{\text{sub}}g\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

que se puede factorizar como

\begin{equation}
\label{net3}
\vec{F}_{\text{net}}=-\left(m-\rho V_{\text{sub}}\right)g\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

La magnitud de la fuerza neta es entonces

\begin{equation}
\label{net4}
|\vec{F}_{\text{net}}|=\left(m-\rho V_{\text{sub}}\right)g,
\end{equation}

y dividir por \( g \) nos da la masa aparente \( m _ {\text{apparent} } \).

\begin{equation}
m_{\text{apparent}}=\frac{|\vec{F}_{\text{net}}|}{g}=\frac{\left(m-\rho V_{\text{sub}}\right)g}{g}.
\end{equation}

Por tanto, podemos escribir

\begin{equation}
m_{\text{apparent}}=m-\rho V_{\text{sub}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos en unidades SI ( \( V _ {\text{sub} } = 0.066 \, \text{m} ^ 3 \) y \( \rho = 1000 \, \text{kg/m} ^ 3 \)), tenemos

\begin{equation}
m_{\text{apparent}}=85\,\text{kg}-(1000\,\text{kg/m}^3)(0.066\,\text{m}^3),
\end{equation}

\begin{equation}
m_{\text{apparent}}=19\,\text{kg}.
\end{equation}

¡Resulta que Juanito no es tan fuerte como pensaba!

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