¡Jugando al Tejo!

(a) Use la ecuación de movimiento para Y para encontrar el tiempo que le toma al disco llegar a la mecha. Luego use ese tiempo con la ecuación de movimiento en X ( rapidez constante).

(b) Con la ecuación de velocidad, es posible encontrar el tiempo que se tarda en alcanzar la altura máxima en términos de la velocidad inicial y la gravedad. Luego, se puede usar ese tiempo en la ecuación de movimiento para encontrar la altura.

(c) Use el tiempo encontrado en (a) para obtener la componente Y de la velocidad final. Como ya se encontró el componente X de la velocidad , tiene todo lo que necesita.

\( a) La componente X de la velocidad es \( v_x = v \cos \theta \). Entonces, la distancia horizontal es:

\begin{equation*}
d = v_x t = v \cos \theta \;t.
\end{equation*}

Dado que la componente Y de la velocidad es \( v_y = v \sin \theta \), la ecuación de movimiento se convierte en:

\begin{equation*}
y_f = y_i + v \sin \theta t – \frac{1}{2} g t^2.
\end{equation*}

Usando estos valores numéricos mientras despejamos \( t \), obtenemos:

\begin{equation*}
t = 0.88 \, \text{s}.
\end{equation*}

Finalmente, usando este tiempo en la ecuación de la distancia horizontal, obtenemos:

\begin{equation*}
d = 3.12 \, \text{m}.
\end{equation*}

(b) Usando la ecuación para la velocidad en Y:

\begin{equation*}
\vec{v}_{f}=\vec{v}_{i} + \vec{a}t,
\end{equation*}

donde \( v_f = 0 \) cuando alcanza la altura máxima. Luego, despejando \( t \) y usando el tiempo que encontramos en la ecuación de movimiento en Y, obtenemos:

\begin{equation*}
y_f = 1.64 \, \text{m}.
\end{equation*}

(c) Usando el tiempo encontrado en (a), obtenemos:

\begin{equation*}
\vec{v}_{fy} =- 5.12 \, \text{m/s} \, \hat{\textbf{j}},
\end{equation*}

donde el signo menos indica que la rapidez es negativa en Y porque el disco está cayendo en ese punto. Luego, encontrando la magnitud de la velocidad , obtenemos:

\begin{equation*}
v_f = \sqrt{ (v_{x})^2 + (v_{fy})^2 } = 6.21 \, \text{m/s}.
\end{equation*}

Y el ángulo es:

\begin{equation*}
\tan \alpha = \frac{v_{fy}}{v_x}. \implies \alpha = 55.42^\circ.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

(a) Para encontrar la distancia horizontal entre la mano que lanza y la mecha, necesitamos relacionar esta distancia con los factores que ya conocemos: el ángulo inicial, la rapidez inicial, la altura inicial y la altura final. Podemos encontrar la relación entre estos componentes usando las ecuaciones de movimiento horizontal y vertical del disco de metal, que seguirá un movimiento parabólico.

Comencemos colocando un sistema de coordenadas en el piso justo debajo de la mano que lanza, como se indica en la figura 1.

Figura 1: Colocamos nuestro sistema de coordenadas en el suelo justo debajo del lugar donde el disco deja la mano del hombre y comienza su movimiento parabólico.

Ahora, como cualquier proyectil, el disco de metal sigue un movimiento parabólico (asumiendo que no hay fricción de aire). Esto significa que a lo largo de X, el disco tiene rapidez constante y, a lo largo de Y, tiene una aceleración gravitacional constante. Por tanto, la distancia horizontal viene dada por

\begin{equation}
d=v_x t,
\label{Tejo_distanciaX}
\end{equation}

donde \( v_x \) es la velocidad largo de X y \( t \) es el tiempo del movimiento. Entonces, para encontrar la distancia horizontal, necesitamos encontrar la velocidad largo de X y el tiempo. Para encontrar la velocidad largo de X, primero observe el triángulo formado por la velocidad inicial y sus dos componentes (la velocidad largo de X y la velocidad largo de Y). Ver figura 2.

Figura 2: La velocidad inicial del disco con sus componentes a lo largo de los ejes X y Y. También se muestra el ángulo \( \theta \) entre la dirección de la velocidad y el eje horizontal.

Conocemos el ángulo inicial, que es de 45º, pero solo reemplazaremos los valores numéricos al final del problema. Entonces, está claro de este dibujo que la magnitud de la velocidad X es

\begin{equation}
v_x=v \cos \theta.
\label{Tejo_velocidadX}
\end{equation}

Luego podemos insertar esto en la ecuación \eqref{Tejo_distanciaX} para obtener

\begin{equation}
d = v \cos \theta \;t.
\label{Tejo_distanciaXconVel}
\end{equation}

Todo lo que tenemos que hacer ahora es encontrar el tiempo \( t \). Para hacer esto, necesitamos escribir la ecuación de movimiento a lo largo de Y. Como dijimos anteriormente, en Y el disco sigue un movimiento con aceleración gravitacional constante. En general, la ecuación para este tipo de movimiento es

\begin{equation}
y_f \, \hat{\textbf{j}} = y_i \, \hat{\textbf{j}} + v_{i_y} t \, \hat{\textbf{j}} – \frac{1}{2} g t^2 \, \hat{\textbf{j}},
\label{Tejo_PosicionY}
\end{equation}

donde \(y_i \, \hat{\textbf{j}} \) es la posición inicial en Y ( es positiva según nuestro sistema de coordenadas), \( v_{i_y} \, \hat{\textbf{j}} \) es la velocidad inicial en Y ( también es positiva según nuestro sistema), \( g \, \hat {\textbf{j}} \) es la aceleración gravitacional ( negativa según el sistema de coordenadas utilizado), \( t \) es el tiempo de movimiento y \( y_f \, \hat {\textbf{j}} \) es la posición final (también positiva). Además del tiempo, la única variable que no se sabe aún es \({i_y} \), pero podemos encontrar este usando el mismo triángulo que usamos antes ( ver la figura de arriba). De ese triángulo, se sigue que

\begin{equation}
v_{i_y}=v \sin \theta.
\label{Tejo_velocidadY}
\end{equation}

Entonces insertemos este resultado en la ecuación \eqref{Tejo_PosicionY} para encontrar

\begin{equation}
y_f \, \hat{\textbf{j}} = y_i \, \hat{\textbf{j}} + v \sin \theta t \, \hat{\textbf{j}} – \frac{1}{2} g t^2 \, \hat{\textbf{j}}.
\label{Tejo_PosicionYConVel}
\end{equation}

Centrémonos en la magnitud para obtener

\begin{equation}
y_f = y_i + v \sin \theta t – \frac{1}{2} g t^2.
\label{Tejo_PosicionYMagnitud}
\end{equation}

Si dejamos todo en el lado derecho y reorganizamos los términos, obtenemos

\begin{equation}
0 = – \left(\frac{1}{2} g\right) t^2 + (v \sin \theta) t + (y_i – y_f) .
\label{Tejo_ecuacionTiempo}
\end{equation}

La única variable que no se conoce aquí es el tiempo \(t \). Podemos encontrarlo usando esta ecuación porque esta es una ecuación cuadrática en \( t \). En particular, de esta ecuación se infiere que \( t \) está dada por

\begin{equation}
t = \frac{-(v \sin \theta) \pm \sqrt{(v \sin \theta)^2 – 4\left(-\frac{1}{2} g\right)(y_i – y_f)}}{2\left(-\frac{1}{2} g\right)},
\label{Tejo_solucionTiempo}
\end{equation}

de la cual obtenemos una solución positiva y una negativa (pero solo la positiva tiene sentido en el presente caso porque la negativa es para los tiempos anteriores al lanzamiento). Usando que \(y_f = 0.3\) m, \(y_i=1\) m, \(g = 9.8\) m/s\(^2\), \(v=5\) m/s y \(\theta=45^\circ\), obtenemos la solución positiva de la ecuación cuadrática:

\begin{equation}
t = 0.88 \, \text{s}.
\label{Tejo_tiempoResultado}
\end{equation}

Finalmente, podemos usar este tiempo en la ecuación \eqref{Tejo_distanciaXconVel} para obtener la distancia horizontal que estábamos buscando. También necesitamos usar \(v=5\) m/s y \(\theta=45^\circ\):

\begin{equation}
d = 3.12 \, \text{m}.
\end{equation}

(b) Para encontrar la altura máxima del disco, necesitamos encontrar el tiempo que le toma al disco alcanzar el punto de altura máxima. Una vez que sepamos este tiempo, podemos usarlo en la ecuación \eqref{Tejo_PosicionYMagnitud} para encontrar la posición Y del disco en ese momento. Dado nuestro sistema de coordenadas, esa posición será la altura máxima ( si hubiéramos usado otro sistema, por ejemplo, uno cuyo origen esté en la mano que lanza, entonces \( y_f \) no nos daría la altura máxima; en cambio, solo nos daría la altura con respecto a la mano).

Para encontrar el tiempo que se tarda en alcanzar la altura máxima, podemos usar la ecuación de la velocidad en Y porque en su altura máxima la velocidad es cero (a la altura máxima, el disco no se mueve hacia arriba ni hacia abajo). Dado que este es un movimiento con aceleración constante, obtenemos

\begin{equation}
\vec{v}_{f}=\vec{v}_{i} + \vec{a}t.
\label{Tejo_velocidadEcuacionGeneral}
\end{equation}

En este caso, la velocidad inicial es positiva, la aceleración es negativa y está dada por \( g \), y la velocidad en el punto más alto es 0:

\begin{equation}
0 \, \hat{\textbf{j}} = v_{i_y} \, \hat{\textbf{j}} – g t_{mh} \, \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \( t_{mh} \) es el momento de máxima altura. Si solo nos enfocamos en las magnitudes y movemos \( gt_{mh} \) al lado izquierdo, obtenemos

\begin{equation}
gt_{mh}=v_{i_y}.
\end{equation}

Ahora, usemos que \( v_{i_y} = v \sin \theta \) y dividimos por \( g \) para obtener
\begin{equation}
t_{mh} = \frac{{(v \sin \theta)}}{g}.
\end{equation}

Luego podemos insertar este tiempo en la ecuación \eqref{Tejo_PosicionYMagnitud} :

\begin{equation}
y_f = y_i + v \sin \theta \left(\frac{v \sin \theta}{g} \right) – \frac{1}{2} g \left(\frac{v \sin \theta}{g} \right)^2.
\label{Tejo_PosicionYHMax}
\end{equation}

Finalmente, insertemos los valores numéricos aquí.

\begin{equation}
y_f = {(1\, \text{m})} + {(5 \, \text{m/s})} \sin {(45^\circ)} \left(\frac{{(5 \, \text{m/s})} \sin {(45^\circ)}}{{(9.8 \, \text{m/s}^2)}} \right) – \frac{1}{2} {(9.8 \, \text{m/s}^2)} \left(\frac{{(5 \, \text{m/s})} \sin {(45^\circ)}}{{(9.8 \, \text{m/s}^2)}} \right)^2,
\label{Tejo_PosicionYHMaxValores}
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
y_f = 1.64 \, \text{m}.
\end{equation}

Esta es la altura máxima. Observe que podríamos haber encontrado la altura máxima directamente usando la ecuación \( \left \( h_{max} = \frac {{v_{i_y} } ^ 2}{2g} \right) \), pero es más fácil derivar el resultado de las ecuaciones básicas en lugar de memorizar todas estas fórmulas adicionales.

(c) Para encontrar la velocidad del disco justo antes de que llegue la mecha, tenemos que encontrar la velocidad en x y la velocidad en y en ese punto. Una vez que los conocemos, podemos encontrar la magnitud y la dirección de la velocidad total porque sabemos que

\begin{equation}
v_f = \sqrt{ (v_x)^2 + (v_{f_y})^2 },
\label{Tejo_velocidadFinalMagnitud}
\end{equation}

que podemos ver en la figura 3.

Figura 3: velocidad del disco cuando llega a su objetivo \( v_f \) con sus componentes a lo largo de los ejes X y Y. También se muestra el ángulo entre la horizontal y la velocidad

En el dibujo, el ángulo nos dará la dirección de la velocidad final.

Ya conocemos la velocidad x, ya que es la misma para todo el movimiento. Entonces, todo lo que tenemos que hacer es encontrar la velocidad final en Y, y para esto, podemos usar la ecuación \eqref{Tejo_velocidadEcuacionGeneral} de nuevo.

La velocidad inicial en Y es positiva. La aceleración viene dada por \( g \) y es negativa, por lo que obtenemos

\begin{equation}
\vec{v}_f= v_{i_y} \, \hat{\textbf{j}} – g t \, \hat{\textbf{j}},
\label{Tejo_velocidadFinal}
\end{equation}

donde t es el tiempo de movimiento.

De (a), sabemos que el tiempo que tarda el disco en alcanzar la mecha viene dado por la ecuación \eqref{Tejo_tiempoResultado} ( que es \( t = 0.88 \) s). Y podemos encontrar la rapidez inicial en Y, que viene dada por \( v \sin \theta \). Entonces la ecuación \eqref{Tejo_velocidadFinal} nos da:

\begin{equation}
\vec{v}_{fy} = (5\,\text{m}/\text{s}) \sin (45^{\circ})\, \hat{\textbf{j}}-g (0.88 \, \textit{s}) \, \hat{\textbf{j}}=- 5.12 \, \text{m/s} \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Observe que el signo negativo indica que la velocidad es negativa a lo largo de Y porque el disco está cayendo en ese punto. La magnitud de esta velocidad es, por supuesto, \( v_{f_y} = 5.12 \) m/s. Entonces usemos esto y \( v_x \) (dado por \( v \cos \theta \)) en la ecuación \eqref{Tejo_velocidadFinalMagnitud}:

\begin{equation}
v_f = \sqrt{ ({3.53 \, \text{m}/\text{s}})^2 + ({5.12 \, \text{m}/\text{s}})^2 }
\label{Tejo_velocidadFinalMagnitud2}
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
v_f = 6.21 \, \text{m/s}.
\end{equation}

Esta es la magnitud de la velocidad cuando el disco alcanza la mecha. Finalmente, del último triángulo, está claro que

\begin{equation}
\tan \alpha = \frac{v_{f_y}}{v_x}.
\end{equation}

Y entonces el ángulo es:
\begin{equation}
\alpha = 55.42^\circ.
\end{equation}

Esta es la dirección de la velocidad cuando el disco alcanza la mecha.

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