¡Bolos!

Aplique la conservación del momento y considere la velocidad de cada objeto.

La conservación del momento lineal en la dirección horizontal se puede escribir como:

\begin{equation*}
\vec{P}_{i}=\vec{P}_{f}.
\end{equation*}

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Aplicando las condiciones dadas, tenemos:

\begin{equation*}
m_b v_{ib} = m_b v_{fb} + m_p v_{fp}.
\end{equation*}

Despejando \(v_{fb} \):

\begin{equation*}
\frac{m_b }{m_p} (v_{ib}- v_{fb}) = v_{fp},
\end{equation*}

que con valores numéricos da:

\begin{equation}
v_{fp}=2.5 \, \text{m/s}.
\end{equation}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Para encontrar la rapidez final del pain, debemos relacionar esa rapidez final con las variables conocidas, que son: la rapidez inicial y final de la bola y las masas tanto de la bola como del pin. Como mostraremos a continuación, podemos encontrar fácilmente una ecuación que relacione estas variables si usamos la conservación del momento lineal.

El momento lineal de un sistema se conserva si la fuerza externa sobre el sistema es cero. Si nos enfocamos en un eje o dirección de movimiento en particular, el momento lineal del sistema a lo largo de esa dirección se conserva si la fuerza externa a lo largo de él es cero. En este caso, esto es cierto para el sistema conformado por la bola y el pin en la dirección en la que se mueve la bola. Observe que en esa dirección, no hay fuerzas externas porque no hay fricción y porque las fuerzas durante la colisión entre el pin y la bola son internas al sistema (estas fuerzas solo se manifiestan entre objetos dentro del sistema). Entonces, para continuar, y para usar la conservación del momento lineal, centrémonos en el sistema conformado por la bola y el pin.

Dado que el momento lineal del sistema conformado por la bola y el pin se conserva en la dirección horizontal, tenemos

\begin{equation}
\label{first}
\vec{P}_{i}=\vec{P}_{f},
\end{equation}

donde \(\vec{P} _{i} \) es el momento inicial del sistema y \(\vec{P} _{f} \) es el momento final del mismo. Usando la definición de momento lineal para la bola y el pin, tenemos

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\begin{equation}
\label{Basketball_conservMomentum}
m_b\vec{v}_{ib}+m_p\vec{v}_{ip}= m_b\vec{v}_{fb}+m_p\vec{v}_{fp},
\end{equation}

donde hemos utilizado el subíndice ‘b’ para la masa, velocidad inicial y velocidad final de la bola de bolos, y ‘p’ para la masa, velocidad inicial y velocidad final del pin.

Supongamos que tomamos la dirección del movimiento como el eje X positivo, como se ilustra en la figura 1.

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas de tal manera que el eje X apunte en la dirección de movimiento de la bola.

En este caso, podemos reescribir la ecuación \eqref{Basketball_conservMomentum} como

\begin{equation}
\label{Basketball_conservMomentumMagnitudes}
m_b v_{ib} \, \hat{\textbf{i}} + m_p v_{ip} \, \hat{\textbf{i}} = m_b v_{fb} \, \hat{\textbf{i}} + m_p v_{fp} \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde usamos que, de acuerdo con nuestro sistema, la velocidad inicial de la bola es positiva, la velocidad final del pin también es positiva, y asumimos que la velocidad final de la pelota también es positiva (si esto no es cierto, en algún momento obtendremos un signo negativo que nos lo hará saber).

Inicialmente, sabemos que el pin está en reposo y, por lo tanto, no tiene velocidad inicial. Si usamos esto y nos enfocamos en las magnitudes en la ecuación \eqref{Basketball_conservMomentumMagnitudes}, obtenemos

\begin{equation}
m_b v_{ib} = m_b v_{fb} + m_p v_{fp}.
\end{equation}

Ahora, observe que conocemos la masa del pin, la masa de la bola y las rapideces inicial y final de la bola. Entonces tenemos suficiente información en esta ecuación para encontrar la rapidez final del pin Primero, movemos el término \(m_b v_{fb} \) al lado izquierdo, para obtener

\begin{equation}
m_b v_{ib} – m_b v_{fb} = m_p v_{fp}.
\end{equation}

Y ahora simplemente dividimos por \(m_p \):

\begin{equation}
\frac{m_b v_{ib} – m_b v_{fb}}{m_p} = v_{fp}.
\end{equation}

Si tomamos el factor común para \(m_b \), podemos escribir esto como

\begin{equation}
\frac{m_b }{m_p} (v_{ib}- v_{fb}) = v_{fp}.
\end{equation}

Finalmente, solo necesitamos insertar los valores numéricos aquí:

\begin{equation}
\frac{(5 \, \text{kg})}{(1 \, \text{kg})} (2 \, \text{m/s}-1.5 \, \text{m/s}) = v_{fp},
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
v_{fp} = 2.5 \, \text{m/s}.
\end{equation}

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