¡Gas ideal en un ciclo rectangular!

a) Utilice la ecuación del gas ideal y resuelva para la temperatura.

b) Utilice la definición de trabajo, para encontrar el trabajo. Usa directamente la ecuación para el cambio de energía interna para obtenerla. Y usa la primera ley de la termodinámica para hallar el calor.

c) Sume todos los trabajos encontrados anteriormente.

d) Utilice la ecuación de eficiencia con los valores encontrados en b).

a) La ecuación del gas ideal establece:

\begin{equation*}
PV = nRT,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde cada presión y volumen se pueden expresar en términos de \(P_0\) y \(V_0\) respectivamente.

Para el estado A:

\begin{equation*}
T_A = \frac{P_0 V_0 }{nR}.
\end{equation*}

Para el estado B:

\begin{equation*}
T_B = \frac{3 P_0 V_0 }{nR}.
\end{equation*}

Para el estado C:

\begin{equation*}
T_C = \frac{6 P_0 V_0 }{nR}.
\end{equation*}

Para el estado D:

\begin{equation*}
T_D = \frac{2 P_0 V_0 }{nR}.
\end{equation*}

b) La definición de trabajo es:

\begin{equation*}
W = \int_{V_i}^{V_f} P dV.
\end{equation*}

El cambio de energía interna es:

\begin{equation*}
\Delta U = \frac{5}{2} nR \Delta T.
\end{equation*}

La primera ley de la termodinámica establece:

\begin{equation*}
\Delta U = Q – W.
\end{equation*}

Usando esas ecuaciones para cada proceso obtenemos:

Proceso A \(\rightarrow\) B.

\begin{equation*}
\Delta U_{A \rightarrow B} = 5 P_0 V_0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
W_{A \rightarrow B} = 0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
Q_{A \rightarrow B} = 5 P_0 V_0.
\end{equation*}

Proceso B \(\rightarrow\) C.

\begin{equation*}
\Delta U_{B \rightarrow C} = \frac{15}{2} P_0 V_0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
W_{B \rightarrow C} = 3 P_0 V_0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
Q_{B \rightarrow C} = \frac{21}{2} P_0 V_0.
\end{equation*}

Proceso C \(\rightarrow\) D.

\begin{equation*}
\Delta U_{C \rightarrow D} = -10 P_0 V_0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
W_{C \rightarrow D} = 0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
Q_{C \rightarrow D} = -10 P_0 V_0.
\end{equation*}

Proceso D \(\rightarrow\) A.

\begin{equation*}
\Delta U_{D \rightarrow A} = -\frac{5}{2} P_0 V_0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
W_{D \rightarrow A} = – P_0 V_0.
\end{equation*}

\begin{equation*}
Q_{D \rightarrow A} = -\frac{3}{2} P_0 V_0.
\end{equation*}

c) Por la suma de los cuatro trabajos encontrados en b) obtenemos:

\begin{equation*}
W_{ \text{Total}} = 2 P_0 V_0.
\end{equation*}

d) La eficiencia se puede escribir como:

\begin{equation*}
\epsilon = \frac{W_{ \text{Total}}}{Q_{\text{abs}}}.
\end{equation*}

Ya se encontró el trabajo total. El calor absorbido es \(Q_{A \rightarrow B} + Q_{B \rightarrow C}\). Entonces:

\begin{equation*}
\epsilon = 0.129.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Podemos encontrar la temperatura usando la ley de los gases ideales.

La ley de los gases ideales establece que para \(n\) moles de un gas ideal, su presión \(P\), volumen \(V\) y temperatura \(T\) están relacionados por la ecuación:

\begin{equation}
PV = nRT,
\end{equation}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde \(R\) es la constante del gas ideal. Si dividimos en ambos lados de la ecuación por \(n\)R, obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:T}
T = \frac{PV}{nR}.
\end{equation}

Podemos usar esta ecuación para encontrar la temperatura del gas en los cuatro estados.
Estado A: En este estado, según el diagrama PV, la presión del gas es \(P_A = P_0\) y su volumen es \(V_A = V_0\). Por lo tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación. \eqref{EQ:T} obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:TA}
T_A = \frac{P_A V_A }{nR} = \frac{P_0 V_0 }{nR},
\end{equation}

Deberíamos seguir un procedimiento idéntico para encontrar la temperatura del gas en los estados B, C y D.

Estado B: Para el estado B, la presión es \(P_B = 3P_0\) y el volumen es \(V_0\), según la figura del problema. Por eso,

\begin{equation}
\label{EQ:TB}
T_B = \frac{P_B V_B }{nR} = 3\frac{P_0 V_0 }{nR}.
\end{equation}

Estado C: Para el estado C, la presión es \(P_C = 3P_0\) y el volumen es \(V_C = 2V_0\). Por lo tanto,

\begin{equation}
\label{EQ:TC}
T_C = \frac{P_C V_C }{nR} = \frac{3P_0 \cdot 2V_0 }{nR} = \frac{6 P_0 V_0 }{nR}.
\end{equation}

Estado D: Finalmente, para el estado D, la presión es \(P_D = P_0\) y el volumen es \(V_D = 2V_0\). Por lo tanto,

\begin{equation}
\label{EQ:TD}
T_D = \frac{P_D V_D}{nR} = \frac{ P_0 \cdot 2V_0 }{nR} = \frac{2 P_0V_0}{nR}.
\end{equation}

b) Podemos encontrar la energía interna de cada estado directamente a partir de las temperaturas encontradas en la parte (a) utilizando el teorema de equipartición. Luego, podemos usar estas energías internas para encontrar el cambio en la energía interna durante cada proceso. Para encontrar el trabajo realizado por el gas durante cada proceso, podemos usar el área bajo la curva del diagrama PV. Finalmente, podemos usar la primera ley de la termodinámica para encontrar el calor transferido durante cada proceso.

Energía interna

El teorema de equipartición establece que para \(n\) moles de un gas en equilibrio, hay una energía interna promedio de \(\frac{1}{2} nRT\) para cada grado de libertad. Un gas diatómico tiene 5 grados de libertad porque para cada molécula, hay energía cinética de traslación en tres dimensiones y energía cinética de rotación sobre dos ejes de rotación. Por lo tanto, la energía interna \(U\) de \(n\) moles de un gas diatómico está dada por

\begin{equation}
\label{EQ:U}
U = 5 \left(\frac{1}{2} nRT\right) = \frac{5}{2} nRT.
\end{equation}

Podemos sustituir las temperaturas encontradas en el inciso (a) en esta ecuación para obtener expresiones para la energía interna en los cuatro estados. Consideremos cada proceso por separado:

Proceso A \(\rightarrow\) B: Para este proceso, el cambio en la energía interna \(U_{A \rightarrow B}\) viene dado por

\begin{equation}
\label{EQ:pre_DUAB}
U_{A \rightarrow B} = U_B – U_A,
\end{equation}

Ahora, de acuerdo con la ecuación. \eqref{EQ:U} , las energías internas \(U_B\) y \(U_A\) están dadas por

\begin{equation}
U_A = \frac{5}{2} nRT_A,
\end{equation}

y

\begin{equation}
U_B = \frac{5}{2} nRT_B.
\end{equation}

Sustituyendo las ecuaciones \eqref{EQ:TA} y \eqref{EQ:TB} tenemos

\begin{equation}
\label{EQ:UA}
U_A = \frac{5}{2} nR \left(\frac{P_0 V_0 }{nR}\right) = \frac{5}{2} P_0 V_0.
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{EQ:UB}
U_B = \frac{5}{2} nR \left(3\frac{P_0 V_0 }{nR}\right) = \frac{5}{2} \left(3 P_0 V_0\right) = \frac{15}{2} P_0 V_0,
\end{equation}

Por lo tanto, al insertar estas ecuaciones en la ecuación. \eqref{EQ:pre_DUAB} obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:DUAB}
U_{A \rightarrow B} = \frac{15}{2} P_0 V_0 – \frac{5}{2} P_0 V_0 = \left(\frac{15}{2}-\frac{5}{2}\right) P_0 V_0 = \frac{10}{2} P_0 V_0 = 5 P_0 V_0.
\end{equation}

Proceso B \(\rightarrow\) C: Para encontrar el cambio en la energía interna durante el proceso \(B \rightarrow C\), debemos encontrar la energía interna \(U_C\) en el estado C. De acuerdo con la ecuación. \eqref{EQ:U} , \(U_C\) viene dado por

\begin{equation}
U_C = \frac{5}{2} nRT_C,
\end{equation}

y después de insertar la ecuación \eqref{EQ:TC} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:UC}
U_C = \frac{5}{2} nR \left(6 P_0 \frac{V_0 }{nR}\right) = \frac{5}{2} \left(6 P_0 V_0\right) = 5\cdot 3 P_0 V_0 = 15 P_0 V_0.
\end{equation}

Por lo tanto, a partir de esta ecuación y la ecuación. \eqref{EQ:UB} , el cambio en la energía interna \(U_{B\rightarrow C}\) está dado por

\begin{equation}
\label{EQ:DUBC}
U_{B\rightarrow C} = U_C – U_B = 15 P_0 V_0 – \frac{15}{2} P_0 V_0 = 15 P_0 V_0 \left(1 – \frac{1}{2}\right) = \frac{15}{2} P_0 V_0.
\end{equation}

Proceso C \(\rightarrow\) D: Primero debemos encontrar \(U_D\), que de acuerdo con la ecuación. \eqref{EQ:UB} está dada por

\begin{equation}
U_D = \frac{5}{2} nRT_D,
\end{equation}

y sustituyendo la ecuación \eqref{EQ:TD} obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:UD}
U_D = \frac{5}{2} nR \left(2 P_0 \frac{V_0 }{nR}\right) = \frac{5}{2} \left(2 P_0 V_0\right) = 5P_0 V_0.
\end{equation}

Por lo tanto, a partir de la última ecuación y la ecuación. \eqref{EQ:UC} , el cambio en la energía interna durante el proceso \(C\rightarrow D\) es

\begin{equation}
\label{EQ:DUCD}
U_{C\rightarrow D} = U_D – U_C = 5P_0 V_0 – 15 P_0 V_0 = -10 P_0 V_0
\end{equation}

El signo negativo indica que la energía interna del gas se reduce durante el proceso.

Proceso D \(\rightarrow\) A: Finalmente, podemos encontrar \(U_{D\rightarrow A}\) de las ecuaciones \eqref{EQ:UD} y \eqref{EQ:UA} , obteniendo

\begin{equation}
\label{EQ:DUDA}
U_{D\rightarrow A} = U_A – U_D = \frac{5}{2} P_0 V_0 – 5P_0 V_0 = 5 P_0 V_0 \left( \frac{1}{2} – 1\right) = 5 P_0 V_0 \left( -\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2} P_0V_0.
\end{equation}

Trabajo

Se puede demostrar que el trabajo realizado por el gas \(W\) durante un proceso es igual al área bajo la curva de la línea que describe el proceso en un diagrama PV. Esto se puede escribir formalmente como

\begin{equation}
\label{EQ:W}
W = \int_{V_i}^{V_f} P dV.
\end{equation}

Para los procesos \(A \rightarrow B\) y \(C \rightarrow D \), el volumen no cambia. Por eso,

\begin{equation}
\label{EQ:WAB}
W_{A \rightarrow B} = 0,
\end{equation}

y

\begin{equation}
\label{EQ:WCD}
W_{C \rightarrow D} = 0.
\end{equation}

En otras palabras, no hay trabajo bajo la respectiva “curva” (línea en este caso), como se ilustra en la figura 1 y figura 2.

Estos resultados también se pueden obtener de la ecuación \eqref{EQ:W} porque ambos límites de integración son iguales, por lo que la integral es cero.

Por otro lado, podemos notar que \(W_{B \rightarrow C}\) y \(W_{D \rightarrow A}\) son distintos de cero ya que hay un área positiva (distinta de cero) debajo de las respectivas curvas.

Durante el proceso \(B \rightarrow C\), el volumen cambia de \(V_i = V_0\) a \(V_f = 2V_0\) a una presión constante de \(P = 3P_0\). Por tanto, de la ecuación. \eqref{EQ:W} , obtenemos que el trabajo realizado por el gas durante el proceso \(B \rightarrow C\) es

\begin{equation}
\label{EQ:WBC}
W_{B \rightarrow C} = \int_{V_0}^{2 V_0} 3 P_0 dV = 3 P_0 \int_{V_0}^{2 V_0} dV = 3 P_0 V\Big|_{V_0}^{2V_0} = P_0 ( 2V_0 – V_0 ) = 3 P_0 V_0.
\end{equation}

Esto corresponde al área sombreada en el diagrama anterior, como se esperaba.

De manera similar, durante el proceso \(D\rightarrow A\), el volumen cambia de \(V_i = 2V_0\) a \(V_f = V_0\) a una presión constante de \(P = P_0\). Por lo tanto, de acuerdo con la ecucación \eqref{EQ:W} , el trabajo realizado durante este proceso es

\begin{equation}
\label{EQ:WDA}
W_{D \rightarrow A} = \int_{2 V_0}^{V_0} P_0 dV = P_0 \int_{2 V_0}^{V_0} dV = P_0 V \Big|_{2V_0}^{V_0} = P_0 ( V_0 – 2V_0) = – P_0 V_0.
\end{equation}

El signo negativo indica que el trabajo se realiza en el gas ya que se reduce su volumen, al contrario del proceso \(B \rightarrow C\), en el que el gas realiza trabajo ya que se expande.

Calor

Ahora, deberíamos encontrar el calor intercambiado durante los cuatro procesos. Dado que ya hemos encontrado el trabajo y el cambio en la energía interna de todos los procesos, podemos encontrar fácilmente el calor intercambiado utilizando la primera ley de la termodinámica. Esta ley establece que para una sustancia que se somete a un proceso termodinámico, el cambio en la energía interna es igual al calor \(Q\) absorbido por la sustancia menos el trabajo \(W\) realizado por ella. Esto se puede escribir como

\begin{equation}
\Delta U = Q – W,
\end{equation}

donde un signo positivo para \(Q\) indica que la sustancia absorbió calor y un signo negativo indica que irradió calor. Del mismo modo, cuando \(W> 0\), la sustancia realizó trabajo durante el proceso, y cuando \(W< 0\), el trabajo fue realizado sobre la sustancia. Resolviendo para \(Q\) obtenemos \begin{equation} Q = \Delta U + W. \end{equation} Proceso A \(\rightarrow\) B: De las ecuaciones \eqref{EQ:DUAB} y \eqref{EQ:WAB} obtenemos \begin{equation} \label{EQ:QAB} Q_{A\rightarrow B} = 5 P_0 V_0 + 0 = 5 P_0 V_0. \end{equation} Proceso B \(\rightarrow\) C: Similarmente, de las ecuaciones \eqref{EQ:DUBC} y \eqref{EQ:WBC} obtenemos \begin{equation} \label{EQ:QBC} Q_{B\rightarrow C} = \frac{15}{2} P_0 V_0 + 3 P_0 V_0 = \left(\frac{15}{2} + 3\right) P_0 V_0 = \left(\frac{15}{2} + \frac{6}{2}\right) P_0 V_0 = \frac{21}{2} P_0 V_0. \end{equation} Proceso C \(\rightarrow\) D: Usando las ecuaciones \eqref{EQ:DUCD} y \eqref{EQ:WCD}, obtenemos que el calor intercambiado durante este proceso es \begin{equation} \label{EQ:QCD} Q_{C \rightarrow D} = -10 P_0 V_0 + 0 = -10 P_0 V_0. \end{equation} Proceso D \(\rightarrow\) A: Finalmente, de acuerdo con las ecuaciones \eqref{EQ:DUDA}, y \eqref{EQ:WDA},\( Q_{D\rightarrow A}\) esta dado por \begin{equation} \label{EQ:QDA} Q_{D\rightarrow A} = -\frac{5}{2} P_0V_0 + \left(- P_0 V_0\right) = -\frac{5}{2} P_0V_0 – P_0 V_0 = \left(-\frac{5}{2} + 1\right) P_0 V_0 = -\frac{3}{2} P_0 V_0. \end{equation}

c) El trabajo total W realizado por el gas durante un ciclo es simplemente la suma de los trabajos realizados por el gas durante cada proceso. Esto se puede escribir como \begin{equation} W = W_{A\rightarrow B} + W_{B\rightarrow C} + W_{C\rightarrow D} + W_{D\rightarrow A}, \end{equation} y sustituyendo las ecuaciones \eqref{EQ:WAB}, \eqref{EQ:WBC}, \eqref{EQ:WCD} y \eqref{EQ:WDA} obtenemos \begin{equation} \label{EQ:WTOTAL} W = 0 + 3 P_0 V_0 + 0 + (- P_0 V_0) = 2 P_0 V_0. \end{equation}

d) La eficiencia \(\epsilon\) de una máquina que realiza un ciclo termodinámico se define como el trabajo neto \(W\) que realiza dividido por el calor absorbido por el gas \(Q_{abs} \). Esto se puede escribir como: \begin{equation} \label{EQ:EFF} \epsilon = \frac{W}{Q_{abs}}. \end{equation} En este caso, \(W\) esta dado por \eqref{EQ:WTOTAL}. Para encontrar \(Q_{abs}\), debemos identificar los procesos durante los cuales el gas absorbió calor y sumarlos. De las ecuaciones \eqref{EQ:QAB}, \eqref{EQ:QBC}, \eqref{EQ:QCD}y \eqref{EQ:QDA}, podemos notar que \(Q_{A\rightarrow B}, Q_ {B\rightarrow C} > 0\), y \(Q_{C \rightarrow D}, Q_{D\rightarrow A} < 0\). Como se explicó en la parte (b), definimos nuestras convenciones de signos de modo que \(Q> 0\) indica que el gas absorbió calor. Por lo tanto,

\begin{equation}
Q_{abs} = Q_{A\rightarrow B} + Q_{B\rightarrow C},
\end{equation}

y sustituyendo las ecuaciones. \eqref{EQ:QAB} y \eqref{EQ:QBC} obtenemos

\begin{equation}
Q_{abs} = 5 P_0 V_0 + \frac{21}{2} P_0 V_0 = \left(5 + \frac{21}{2}\right) P_0 V_0 = \left(\frac{10}{2}+ \frac{21}{2}\right) P_0 V_0 = \frac{31}{2} P_0 V_0.
\end{equation}

Por lo tanto, sustituyendo esta ecuación y la ecuación. \eqref{EQ:WTOTAL} en la ecuación \eqref{EQ:EFF} se cumple que

\begin{equation}
\epsilon = \frac{W}{Q_{abs}} = \frac{2 P_0 V_0}{\frac{31}{2} P_0 V_0} = \frac{2} {\frac{31}{2}} = \frac{4}{31} = 0.129 \rightarrow 12.9 \%.
\end{equation}

Esta es una máquina extremadamente ineficiente: solo el \(12,9 \%\) de la energía absorbida como calor se convierte en trabajo.

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