Considere dos cascarones esféricos conductores concéntricos, donde el cascarón interior tiene un radio externo de 0.3 m y una carga de 5.6 \(\mu C \), y el cascarón exterior tiene un radio interno de 0.5 m.
(a) Encuentre la carga del cascarón exterior en su radio interno.
(b) Encuentre la diferencia de potencial entre los cascarones.
a) La condición de inducción significa que la carga neta de todo el sistema debe ser igual a cero.
b) Use la ley de Gauss para calcular la fuerza y la dirección del campo eléctrico, y use el campo eléctrico para encontrar el potencial eléctrico.
a) La ley de Gauss establece:
\begin{equation*}
\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
\end{equation*}
[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]
donde \( Q_{\text{enc}} = 0\). Entonces:
\begin{equation*}
Q_0 = – Q_i = – 5.6 \, \mu \text{C}.
\end{equation*}
b) Según la ley de Gauss, la carga interna encerrada es:
\begin{equation*}
Q_{\text{enc}} = Q_i,
\end{equation*}
entonces:
\begin{equation*}
\vec{E}=\frac{Q_i}{4\pi \epsilon_0 r^2}\,\hat{\textbf{r}}.
\end{equation*}
La definición del potencial eléctrico es:
\begin{equation*}
V_{b}-V_{a}=-\int_{a}^{b} \vec{E}\cdot d\vec{l}.
\end{equation*}
Después de realizar la integral obtenemos:
\begin{equation*}
V_{\text{outer}}-V_{\text{inner}}=-\frac{Q_i}{4\pi \epsilon_0}\left(-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}\right),
\end{equation*}
que con valores numéricos da:
\begin{equation*}
V_{\text{outer}}-V_{\text{inner}}\approx -6.71\times 10^{4}\,\text{V}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
[/mepr-show]
a) Para encontrar la carga de la capa exterior en su radio interior, usaremos la ley de Gauss y el hecho de que dentro de un conductor el campo eléctrico \(\vec{E} \) siempre es cero. Primero, escribiremos la ecuación que describe la ley de Gauss; a saber,
\begin{equation}
\label{gauss}
\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
\end{equation}
[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]
donde la integral se realiza sobre la superficie cerrada \(S \), \(d \vec{A} \) es un vector cuya magnitud es el diferencial de área superficial \(dA \), y su dirección es normal a la superficie \(S \). La carga eléctrica encerrada por la superficie \(S \) se denota por \(Q_{\text{enc}} \) y \(\epsilon_0 \) es una constante física conocida como permitividad del espacio libre. El campo eléctrico \(\vec{E} \) en la ecuación \eqref{gauss} es el valor del campo en la superficie \(S \).
Por conveniencia, elegiremos nuestra superficie gaussiana \(S \) para que sea esférica (debido a la simetría del problema) y ubicada entre el radio interno y externo del cascarón exterior, como se ve en la figura 1.
Figura 1: Superficie esférica gaussiana (rosa) colocada entre la superficie interior y exterior del cascarón esférico de radio \(R_2 \). También se muestra el cascarón esférico de radio \(R_1 \).
Debido a que el campo eléctrico dentro de un material conductor es cero tenemos que, en la superficie \(S \)
\begin{equation}
\label{efield}
\vec{E}=\vec{0}.
\end{equation}
Usando el resultado de la ecuación \eqref{efield} en la ecuación \eqref{gauss}, obtenemos
\begin{equation}
\oint_S\vec{0}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
\end{equation}
que se convierte en
\begin{equation}
\label{gauss2}
0=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
\end{equation}
La ecuación \eqref{gauss2} implica que
\begin{equation}
\label{qenc}
Q_{\text{enc}}=0.
\end{equation}
Ahora, la carga encerrada por nuestra superficie gaussiana \(S \) será la del cascarón exterior, \(Q_i \), más la del radio interno del cascarón exterior, \(Q_{o} \); entonces, podemos escribir la ecuación \eqref{qenc} como
\begin{equation}
Q_i+Q_o=0.
\end{equation}
Despejando \(Q_o \) de la ecuación anterior, obtenemos
\begin{equation}
Q_o=-Q_i.
\end{equation}
Numéricamente
\begin{equation}
Q_o=-5.6\,\mu\text{C}.
\end{equation}
b) Para encontrar la diferencia de potencial eléctrico \(\Delta V\) entre los cascarones, primero debemos encontrar el campo eléctrico entre llos cascarones y luego usar la relación entre el potencial eléctrico \(V \) y el campo eléctrico \(\vec{E} \).
Comencemos calculando el campo eléctrico \(\vec{E} \) en la región entre los cascarones. Usaremos la ley de Gauss con una superficie esférica de Gauss entre los cascarones, como se ve en la figura 2.
Figura 2: Superficie esférica gaussiana (rosa) con radio \(R_1< r< R_2 \). Esta superficie gaussiana encierra la carga total en el cascarón esférico interior.
Debido a la simetría de la carga encerrada, el campo eléctrico se dirige en la dirección radial y su magnitud es constante para una distancia radial \(r \), como se ilustra en la figura 3.
Figura 3: Superficie esférica gaussiana (rosa) de radio \(r \) tal que \(R_1< r< R_2 \). El diferencial de área superficial \(d \vec{A} \) es perpendicular a cada punto de la superficie gaussiana y, por lo tanto, paralelo al campo eléctrico \(\vec{E} \) producido por la carga en el cascarón esférico interno.
Entonces podemos escribir,
\begin{equation}
\label{efield2}
\vec{E}=E\,\hat{\textbf{r}},
\end{equation}
donde \(E \) es la magnitud del campo eléctrico y \(\hat {\textbf{r} } \) es el vector unitario en dirección radial. De la ley de Gauss (ver ecuación \eqref{gauss} ) y de la simetría esférica, el vector \(d \vec{A} \) siempre apunta radialmente hacia afuera; por lo tanto,
\begin{equation}
\label{da}
d\vec{A}=dA\,\hat{\textbf{r}}.
\end{equation}
Tomando el producto escalar entre el campo eléctrico \(\vec{E} \) y el vector \(d \vec{A} \), obtenemos
\begin{equation}
\label{eda}
\vec{E}\cdot d\vec{A}=(E\,\hat{\textbf{r}})\cdot(dA\,\hat{\textbf{r}})=E\,dA,
\end{equation}
donde usamos el hecho de que \(\hat {\textbf{r} } \) es unitario, por lo que \(\hat {\textbf{r} } \cdot \hat {\textbf{r} } = 1 \). Usando el resultado de la ecuación \eqref{eda} en la ecuación \eqref{gauss}, obtenemos
\begin{equation}
\label{gauss3}
\oint_{S}E\,dA=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
\end{equation}
Como la magnitud del campo eléctrico es constante a lo largo de todos los puntos de la superficie \(S \), éste se puede extraer de la integral; a saber,
\begin{equation}
\label{gauss4}
E\oint_{S}dA=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
\end{equation}
Si realizamos la integral \(\oint_{S} dA \), obtenemos el área superficial de \(S \), que para una esfera de radio \(r \) es \(4 \pi r^2 \); por lo tanto, podemos reescribir la ecuación \eqref{gauss4} como
\begin{equation}
E\,4\pi r^2=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
\end{equation}
La carga encerrada por la superficie gaussiana es solo la carga del cascarón interior \(Q_i \), por lo que la ecuación anterior se puede escribir como
\begin{equation}
E\,4\pi r^2=\frac{Q_{i}}{\epsilon_0},
\end{equation}
que despejando \(E \) da como resultado
\begin{equation}
\label{magefield}
E=\frac{Q_{i}}{4\pi \epsilon_0 r^2}.
\end{equation}
Entonces, usando la ecuación \eqref{efield2}, podemos escribir una expresión para el campo eléctrico entre los cascarones
\begin{equation}
\label{efield3}
\vec{E}=\frac{Q_i}{4\pi \epsilon_0 r^2}\,\hat{\textbf{r}}.
\end{equation}
Ahora que tenemos el campo eléctrico, usaremos la siguiente relación para encontrar la diferencia de potencial eléctrico
\begin{equation}
\label{difV}
V_{b}-V_{a}=-\int_{a}^{b} \vec{E}\cdot d\vec{l}.
\end{equation}
Donde \(V_{a} \) y \(V_{b} \) son los potenciales eléctricos en los puntos \(a \) y \(b \), respectivamente. La integral se toma sobre un camino descrito por \(d \vec{l} \). Debido al producto escalar entre el campo eléctrico \(\vec{E} \) y el vector \(d \vec{l} \), la única contribución a la integral será de un camino en la misma dirección que \(\vec{E} \), el cual es \(\hat {\textbf{r} } \); entonces, podemos escribir
\begin{equation}
\int_{a}^{b}\vec{E}\cdot d\vec{l}=\int_{a}^{b}(E\,\hat{\textbf{r>\cdot d\vec{l},
\end{equation}
\begin{equation}
\label{intV}
\int_{a}^{b}\vec{E}\cdot d\vec{l}=\int_{r_a}^{r_b}E\,dr,
\end{equation}
donde ahora los límites están en términos del radio asociado a los puntos \(a \) y \(b \).
Usando el resultado de la ecuación \eqref{intV} en la ecuación \eqref{difV}, obtenemos
\begin{equation}
\label{difV2}
V_{b}-V_{a}=-\int_{r_a}^{r_b}E\,dr.
\end{equation}
Poniendo la expresión de la magnitud del campo eléctrico de la ecuación \eqref{magefield} en la ecuación \eqref{difV2}, obtenemos
\begin{equation}
\label{difV3}
V_{b}-V_{a}=-\int_{r_a}^{r_b}\frac{Q_i}{4\pi\epsilon_0 r^2}\,dr.
\end{equation}
El punto \(a \) se asociará con el cascarón interior, y el punto \(b \) será un punto en el cascarón exterior; entonces, la ecuación \eqref{difV3} se puede escribir como
\begin{equation}
\label{difV4}
V_{\text{outer}}-V_{\text{inner}}=-\frac{Q_i}{4\pi\epsilon_0}\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r^2},
\end{equation}
donde \(R_1 \) es el radio externo del cascarón interior y \(R_2 \) es el radio interno del cascarón exterior. Hemos sacado de la integral todas las constantes. Realizando la integral en la ecuación \eqref{difV4}, obtenemos
\begin{equation}
V_{\text{outer}}-V_{\text{inner}}=-\frac{Q_i}{4\pi \epsilon_0}\left(-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}\right),
\end{equation}
que numéricamente es
\begin{equation*}
V_{\text{outer}}-V_{\text{inner}}=-\frac{5.6\times 10^{-6}\,\text{C}}{4\pi (8.854\times 10^{-12}\,\text{F/m})}\left(-\frac{1}{0.5\,\text{m}}+\frac{1}{0.3\,\text{m}}\right),
\end{equation*}
\begin{equation}
V_{\text{outer}}-V_{\text{inner}}\approx -6.71\times 10^{4}\,\text{V}.
\end{equation}
[/mepr-show]
Leave A Comment