¡Taza de cafe!

a) Utilice la definición de entropía como una integral del calor diferencial y realice la integral a partir de las temperaturas dadas.

b) Considere la cocina como un sistema isotérmico, entonces la definición de entropía será en términos del calor y la temperatura constante de la cocina.

c) Ya encontró las dos entropías necesarias para obtener el total del sistema.

a) El cambio de entropía como expresión general es:

\begin{equation*}
\Delta S=\int\frac{dQ}{T},
\end{equation*}

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donde \ (dQ = mc dT \) representa el cambio infinitesimalmente pequeño en la energía térmica del café.

La integral se convierte en:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{coffee}}=\int \frac{mc\,dT}{T}.
\end{equation*}

Después de realizar la integral obtenemos:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{coffee}}= mc\ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
\end{equation*}

que, con valores numéricos, se convierte en:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{coffee}} \approx – 339.4 \, \text{J/K}.
\end{equation*}

b) Para la cocina como sistema isotérmico, la temperatura puede eliminarse de la integral y reescribirse como:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{kitchen}}=\frac{Q_{\text{kitchen}}}{T_{\text{kitchen}}},
\end{equation*}

donde \ (Q _ {\ text{kitchen} } = -Q _ {\ texto{coffee} } \). (Esta relación se puede encontrar fácilmente con los valores dados del problema ya que \ (Q _ {\ text{coffee} } = mc \ Delta T \).) Esto nos da:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{kitchen}}\approx376.3\,\text{J/K}.
\end{equation*}

c) La entropía total se puede calcular como:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{system}}=\Delta S_{\text{coffee}}+\Delta S_{\text{kitchen}}.
\end{equation*}

o numéricamente

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{system}}\approx 36.9\,\text{J/K}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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a) Se nos ha pedido que calculemos el cambio de entropía del agua mientras se enfría. Comencemos nuestra solución identificando las partes de nuestro sistema cerrado. Todo el sistema consta de una taza de café y la cocina. Para calcular el cambio de entropía \(\Delta S\), debemos usar la expresión general

\begin{equation}
\label{dS}
\Delta S=\int\frac{dQ}{T},
\end{equation}

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donde \(dQ\) es la cantidad diferencial de calor que entra o sale del objeto que estamos analizando, y \(T\) es la temperatura absoluta de dicho objeto. En el caso de la taza de café, se nos da información sobre la masa de agua \(m\) y el cambio de temperatura. Entonces podemos calcular la cantidad total de calor \(Q\) que deja la taza de café como

\begin{equation}
\label{mcdt}
Q_{\text{coffee}}=mc\Delta T,
\end{equation}

donde \(c\) es el calor específico, en este caso del agua, y \(\Delta T\) es el cambio total de temperatura. Porque debemos usar el diferencial \(dQ\) en la expresión \eqref{dS} , usaremos la ecuación \eqref{mcdt} para deducir

\begin{equation}
\label{dQ}
dQ=mc\,dT,
\end{equation}

donde hemos reemplazado el cambio de temperatura con un cambio infinitesimal de temperatura \(dT\). Para justificar la expresión en \eqref{dQ} , debemos notar que ni la masa ni el calor específico cambian durante el proceso, solo la temperatura. Por tanto, un cambio infinitesimal de temperatura \(dT\) será proporcional a una cantidad infinitesimal de calor \(dQ\).

Usando la ecuación \eqref{dQ} en la ecuación \eqref{dS} , encontramos que

\begin{equation}
\label{ds2}
\Delta S_{\text{coffee}}=\int \frac{mc\,dT}{T}.
\end{equation}

Ahora podemos sacar las constantes de la integral en la ecuación \eqref{ds2} y poner los límites en temperatura absoluta: la temperatura inicial es

\begin{equation}
T_i=92\,{}^{\circ}\text{C}=(92+273.15)\,\text{K}=365.15\,\text{K},
\end{equation}

mientras que la temperatura final es

\begin{equation}
T_f=25\,{}^{\circ}\text{C}=(25+273.15)\,\text{K}=298.15\,\text{K};
\end{equation}

por lo tanto, la ecuación \eqref{ds2} se transforma en

\begin{equation}
\label{ds3}
\Delta S_{\text{coffee}}=mc\int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T}.
\end{equation}

Realizando la integral en la ecuación \eqref{ds3} , obtenemos

\begin{equation}
\label{ds4}
\Delta S_{\text{coffee}}= mc\left[\ln(T_f)-\ln(T_i)\right]=mc\ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
\end{equation}

donde hemos utilizado algunas propiedades de la función logarítmica. Usando los valores numéricos, encontramos que

\begin{equation}
\label{ds5}
\Delta S_{\text{coffee}}=(0.4\,\text{kg})(4186\,\text{J/kg K})\ln\left(\frac{298.15\,\text{K}}{365.15\,\text{K}}\right),
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ds6}
\Delta S_{\text{coffee}}\approx -339.4\,\text{J/K}.
\end{equation}

b) Ahora debemos calcular el cambio de entropía de la cocina. En este problema, la cocina actúa como un depósito térmico, es decir, su cambio de temperatura es insignificante cuando entra o sale una cantidad de calor de la cocina. En nuestro caso, el calor se transfiere de la taza de café a la cocina.

Debido a que la cocina no cambia su temperatura, podemos escribir la expresión en la ecuación \eqref{dS} para la cocina como

\begin{equation}
\Delta S_{\text{kitchen}}=\int\frac{dQ}{T_{\text{kitchen}}},
\end{equation}

y sacar de la integral la temperatura para obtener

\begin{equation}
\Delta S_{\text{kitchen}}=\frac{1}{T_{\text{kitchen}}}\int dQ,
\end{equation}

que luego de realizar la integral se convierte en

\begin{equation}
\label{dsk}
\Delta S_{\text{kitchen}}=\frac{Q_{\text{kitchen}}}{T_{\text{kitchen}}},
\end{equation}

donde \(Q\) es el calor transferido desde la taza de café y \(T_{\text{kitchen}}\) es la temperatura absoluta de la cocina.

De la conservación de la energía, y debido a que ninguna otra energía entra o sale de todo el sistema, podemos escribir

\begin{equation}
\label{sumq}
Q_{\text{coffee}}+Q_{\text{kitchen}}=0,
\end{equation}

luego

\begin{equation}
\label{sumq2}
Q_{\text{kitchen}}=-Q_{\text{coffee}}.
\end{equation}

Usando la expresión para \(Q_{\text{coffee}}\) dado en la ecuación \eqref{mcdt} , obtenemos

\begin{equation}
\label{sumq3}
Q_{\text{kitchen}}=-mc\Delta T.
\end{equation}

Poniendo la expresión de la ecuación \eqref{sumq3} en la ecuación \eqref{dsk} , finalmente obtenemos

\begin{equation}
\Delta S_{\text{kitchen}}=-\frac{mc\Delta T}{T_{\text{kitchen}}}.
\end{equation}

Usando el hecho de que \(\Delta T=T_f-T_i\), podemos escribir explícitamente

\begin{equation}
\Delta S_{\text{kitchen}}=-\frac{mc(T_f-T_i)}{T_{\text{kitchen}}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos dados por el problema, y observando que \(T_{\text{kitchen}}=T_f=298.15\,\text{K} \), obtenemos

\begin{equation}
\label{dsk2}
\Delta S_{\text{kitchen}}=-\frac{(0.4\,\text{kg})(4186\,\text{J/kg K})(298.15,\text{K}-365.15\,\text{K})}{298.15\,\text{K}},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{dsk3}
\Delta S_{\text{kitchen}}\approx376.3\,\text{J/K}.
\end{equation}

c) El cambio de entropía total del sistema se puede calcular como la suma de los cambios de entropía de sus partes: café y cocina, por lo que

\begin{equation}
\Delta S_{\text{system}}=\Delta S_{\text{coffee}}+\Delta S_{\text{kitchen}}.
\end{equation}

Usando los valores dados en las ecuaciones \eqref{ds6} y \eqref{dsk3} , obtenemos numéricamente

\begin{equation}
\Delta S_{\text{system}}\approx -339.4\,\text{J/K}+376.3\,\text{J/K}=36.9\,\text{J/K}.
\end{equation}

Observe que el resultado es mayor que cero, lo cual es correcto según la segunda ley de la termodinámica: el cambio en la entropía \(\Delta S\) para un sistema aislado es siempre positivo o cero.

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