2 Cargas en un Eje

Para las dos primeras preguntas, necesitamos encontrar el potencial eléctrico en los puntos \(A \) y \(B \). La estrategia que seguiremos es utilizar la definición del potencial eléctrico para cargas puntuales y el principio de superposición.

(a) Comencemos recordando la definición de potencial eléctrico para una carga puntual

\begin{equation}
\label{potelec}
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r},
\end{equation}

donde \(q \) es la magnitud de la carga, \(r \) es la distancia desde la carga hasta el punto donde queremos calcular el potencial eléctrico, y \(\epsilon_0 \) es la permitividad del vacío, una constante física. Observe que el potencial eléctrico es una cantidad escalar, no vectorial. Para encontrar el potencial eléctrico en \(A\) \((V_A)\), podemos usar el principio de superposición, es decir, el potencial eléctrico en \(A \) es igual a la suma del potencial eléctrico debido a las cargas \(q_1\) \((V_1)\) y \(q_2\) \((V_2)\); explícitamente,

\begin{equation}
\label{va}
V_A=V_1+V_2.
\end{equation}

Comenzamos calculando \(V_1 \) usando la ecuación \eqref{potelec}

\begin{equation}
\label{v1}
V_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_{1A}},
\end{equation}

donde \(r_{1A} \) es la distancia entre la carga \(q_1 \) y el punto \(A \), según el enunciado esta distancia es \begin{equation}
r_{1A}=0.5\,\text{m}.
\end{equation}

Podemos hacer lo mismo con la carga \(q_2 \) y obtener la expresión

\begin{equation}
\label{v2}
V_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_{2A}},
\end{equation}

donde \(r_{2A} \) es la distancia entre la carga \(q_2 \) y el punto \(A \), que se puede encontrar usando geometría, específicamente, el teorema de Pitágoras, como se ve en la siguiente figura

Entonces,
\begin{equation}
r_{2A}=\sqrt{(1\,\text{m})^2+(0.5\,\text{m})^2}\approx1.12\,\text{m}.
\end{equation}
Usando las ecuaciones \eqref{v1} y \eqref{v2} en la ecuación \eqref{va} finalmente obtenemos

\begin{equation}
\label{va2}
V_A=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{r_{1A}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{r_{2A}},
\end{equation}

donde podemos factorizar una parte del término \(\frac{1} {4 \pi \epsilon_0} \) para simplificar la expresión en \eqref{va2} a

\begin{equation}
\label{va2fac}
V_A=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_{1A}}+\frac{q_2}{r_{2A}}\right)
\end{equation}

lo que numéricamente es

\begin{equation}
V_A=\frac{1}{4\pi (8.854\times 10^{-12}\, \text{C}^2/\text{N m}^2)}\left(\frac{5\times10^{-6}\,\text{C}}{0.5\,\text{m}}+\frac{(-8\,\times 10^{-6}\,\text{C})}{1.12\,\text{m}}\right),
\end{equation}

\begin{equation}
V_A\approx 2.56\times 10^{4}\,\text{J}/\text{C}.
\end{equation}

(b) Para calcular el potencial eléctrico en \(B \), podemos hacer el mismo análisis realizado en la parte (a) y obtener una ecuación similar a la de \eqref{va2fac}; a saber,

\begin{equation}
\label{vb}
V_B=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_{1B}}+\frac{q_2}{r_{2B}}\right),
\end{equation}

donde \(r_{1B} \) y \(r_{2B} \) son las distancias entre el punto \(B \) y las cargas \(q_1 \) y \(q_2 \), respectivamente. Estas distancias vienen dadas por el enunciado \(r_{1B} = 0.4 \, \text{m} \) y \(r_{2B} = 0.85 \text{m} \); porlo tanto, podemos calcular explícitamente el potencial eléctrico en \(B \) siguiendo la ecuación \eqref{vb}

\begin{equation}
V_B=\frac{1}{4\pi (8.854\times 10^{-12}\, \text{C}^2/\text{N m}^2)}\left(\frac{5\times10^{-6}\,\text{C}}{0.4\,\text{m}}+\frac{(-8\,\times 10^{-6}\,\text{C})}{0.85\,\text{m}}\right),
\end{equation}

\begin{equation}
V_B\approx2.78\times 10^{4}\,\text{J}/\text{C}.
\end{equation}

(c) Ahora, consideremos un electrón que viaja de \(B \) a \(A \). Dado que llega a \(A \) con una rapidez de 820 m/s, necesitamos encontrar la rapidez que tenía en \(B \). En esta parte del problema, usaremos la relación entre el potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica para luego usar el principio de conservación de energía. Ya que tenemos el potencial eléctrico en los puntos \(A \) y \(B \) y conocemos la carga de la partícula que se mueve entre estos puntos, podemos calcular la energía potencial eléctrica \(U \) usando la relación

\begin{equation}
\label{potential}
U=qV,
\end{equation}

donde \(q \) en nuestro caso es la carga del electrón, a saber, \(q = -1.602 \times 10^{-19} \,\text{C} \). Entonces, podemos usar el hecho de que que la energía mecánica de la partícula se conserva porque no hay fuerzas disipativas (como la fricción) que actúen sobre la partícula; por lo tanto, la suma de todos los tipos de energía potencial más la energía cinética \(K \) debe conservarse; explícitamente:

\begin{equation}
\label{conservation}
U_A+K_A=U_B+K_B,
\end{equation}

donde \(U_A \) y \(K_A \) son la energía potencial eléctrica y la energía cinética en el punto \(A \), respectivamente, y \(U_B \) y \(K_B \) son la energía potencial eléctrica y la energía cinética en el punto \(B \). Ahora podemos usar la expresión para la energía cinética

\begin{equation}
\label{kinetic}
K=\frac{1}{2}mv^2,
\end{equation}

donde \(m \) es la masa y \(v \) es la rapidez . Usando la definición de la ecuación \eqref{kinetic} en la ecuación \eqref{conservation}, obtenemos

\begin{equation}
\label{cons2}
U_A+\frac{1}{2}mv_A^2=U_B+\frac{1}{2}mv_B^2.
\end{equation}

Ahora, usamos la definición de energía potencial dada en la ecuación \eqref{potential} en la ecuación \eqref{cons2} para obtener

\begin{equation}
qV_A+\frac{1}{2}mv_A^2=qV_B+\frac{1}{2}mv_B^2,
\end{equation}

donde la única variable desconocida es \(v_B \). Despejando \(v_B \), obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2}mv_B^2=qV_A-qV_B+\frac{1}{2}mv_A^2,
\end{equation}

y luego multiplicando por \( 2/m \), obtenemos

\begin{equation}
v_B^2=\frac{2}{m}\left(qV_A-qV_B+\frac{1}{2}mv_A^2\right),
\end{equation}

que es equivalente a

\begin{equation}
v_B^2=\frac{2q}{m}(V_A-V_B)+v_A^2.
\end{equation}

Finalmente, sacando la raíz cuadrada en ambos lados:

\begin{equation}
v_B=\sqrt{\frac{2q}{m}(V_A-V_B)+v_A^2}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos dados y los calculados en partes anteriores del problema, obtenemos

\begin{equation*}
v_B=\sqrt{\frac{2(-1.602\times 10^{-19}\,\text{C})(2.57\times 10^{4}\,\text{J}/\text{C}-2.78\times 10^{4}\,\text{J}/\text{C}}{(9.11\times 10^{-31}\,\text{kg})}+(820\,\text{m}/\text{s})^2)},
\end{equation*}

\begin{equation}
v_B\approx 2.78 \times 10^7\,\text{m}/\text{s}.
\end{equation}

¡Esto significa que el electrón redujo su rapidez en 5 órdenes de magnitud!