¡Coches de carreras a control remoto!

(a) Use la ecuación que da la posición de un objeto que se mueve con aceleración constante. Además, tenga en cuenta que sus aceleraciones están relacionadas. Finalmente, compare sus posiciones finales a los 3 segundos para el carro de Amy y a los 2 segundos para el carro de David.

(b) Encuentre el tiempo que le toma a cada carro viajar 40 m usando las ecuaciones de movimiento.

(a) Para ambos carros, podemos escribir la posición usando la ecuación para un movimiento de aceleración constante:

\begin{equation*}
\vec{x}_f=\vec{x}_i+\vec{v}_i t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2,
\end{equation*}

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lo que también para ambos se convierte en:

\begin{equation*}
\vec{x}_f=\frac{1}{2}\vec{a}t^2.
\end{equation*}

Para el carro de Amy, los valores dados nos permiten obtener la aceleración mediante la siguiente ecuación:

\begin{equation*}
a_A=\frac{\Delta v}{\Delta t},
\end{equation*}

lo que nos lleva a:

\begin{equation*}
a_A=2.5\,\text{m/s}^2.
\end{equation*}

Y la aceleración del carro de David es el doble de la aceleración del carro de Amy.

Luego, usando \(3 \, \text{s}\) como tiempo para el carro de Amy en la ecuación de movimiento obtenemos:

\begin{equation}
x_A=11.25\,\text{m}.
\end{equation}

Y usando \(2 \, \text{s}\) para el carro de David obtenemos:

\begin{equation}
x_D=10\,\text{m}.
\end{equation}

Por lo tanto, el carro de Amy está delante en \(1.25\,\text{m}\).

(b) Luego, despejando el tiempo \(t\) en la ecuación de movimiento:

\begin{equation*}
t^2=\frac{2x}{a}.
\end{equation*}

Para el carro de Amy obtenemos:

\begin{equation*}
t_A \approx5.66\,\text{s}.
\end{equation*}

Para el carro de David, necesitamos agregar \(1 \, \text{s} \) al resultado, obtenemos:

\begin{equation*}
t_D= 5 \,\text{s}.
\end{equation*}

Luego, el carro de David llega primero y el carro de Amy llega \(t_A-t_D=5.66\,\text{s}-5\,\text{s}=0,66\,\text{s}\) mas tarde.

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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(a) Necesitamos averiguar qué carro está por delante y cuánto tiempo transcurren 3 segundos en la carrera. Para abordar el problema, escribiremos la posición del carro de David y del carro de Amy en función del tiempo \(t\).

Para el carro de Amy, podemos escribir la posición \(\vec{x}_A\) usando la ecuación para un movimiento de aceleración constante:

\begin{equation}
\vec{x}_A=\vec{x}_i+\vec{v}_i t+\frac{1}{2}\vec{a}_At^2.
\end{equation}

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Para continuar, coloquemos un sistema de coordenadas en el origen del movimiento para ambos carros, y con el eje X apuntando en la dirección del movimiento, como se muestra en la figura 1:

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en el origen de ambos carros.

Dada esta elección de sistema de coordenadas, la ecuación de movimiento se convierte en

\begin{equation}
\label{xa}
x_A\,\hat{\textbf{i}}=x_i\,\hat{\textbf{i}}+v_it\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}at^2\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(x_i=0\) es la posición inicial del carro de Amy, \(v_i=0\) es la velocidad inicial y \(a_A\) es la magnitud de la aceleración. Descartando la notación vectorial y enfocándonos en las magnitudes en la ecuación \eqref{xa} , obtenemos

\begin{equation}
\label{xap}
x_A=\frac{1}{2}a_At^2,
\end{equation}

donde hemos utilizado el hecho de que \(x_i=0\) y \(v_i=0\).

Ahora debemos considerar la ecuación de movimiento del carro de David, que también tiene una aceleración constante. Sin embargo, debido a que su carro arranca en un tiempo \(t_D=1\,\text{s}\) después de que el cronómetro comienza, escribiremos \(t-t_D\) en lugar de solo \(t\) en todas las ecuaciones para este auto (en otras palabras, el carro de David corre un segundo menos rápido que el de Amy). Por tanto, la ecuación de movimiento se puede escribir así

\begin{equation}
\vec{x}_D=\vec{x}_i+\vec{v}_i(t-t_D)+\frac{1}{2}a_D(t-t_D)^2.
\end{equation}

Pero de acuerdo con el sistema de coordenadas que elegimos, esto se convierte en

\begin{equation}
\label{xd}
x_D\,\hat{\textbf{i}}=x_i\,\hat{\textbf{i}}+v_i(t-t_D)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}a_D(t-t_D)^2\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Para el carro de David, la posición inicial \(x_i\) y la velocidad inicial \(v_i\) son las mismas que las del carro de Amy, es decir, cero. Según el problema, la aceleración del carro de David es el doble que la del de Amy. Por lo tanto,

\begin{equation}
\label{acels}
a_D=2a_A.
\end{equation}

Eliminando la notación vectorial de la ecuación \eqref{xd} (lo cual podemos hacer porque todo está en la misma línea de movimiento) y usando el hecho de que la posición inicial y la velocidad inicial son cero, obtenemos

\begin{equation}
x_D=\frac{1}{2}a_D(t-t_D)^2.
\end{equation}

Reemplazando la aceleración del carro de David y usando la ecuación \eqref{acels} en la última ecuación anterior obtenemos

\begin{equation}
\label{xdp}
x_D=a_A(t-t_D)^2.
\end{equation}

Observemos que tanto la posición del carro de Amy \(x_A \) como la posición del carro de David \(x_D \) dependen del valor de \(a_A \), que se desconoce. Por lo tanto, para determinar qué carro está adelante, debemos encontrar el valor de \(a_A \) usando más información del indicador. Escribamos la definición de \(a_A \) en términos de velocidad y tiempo:

\begin{equation}
a_A=\frac{\Delta v}{\Delta t},
\end{equation}

Sabemos que en un intervalo de tiempo de 4 segundos, el carro de Amy pasa de 0 a \(10\,\text{m/s}\). Por lo tanto,

\begin{equation}
a_A=\frac{10\,\text{m/s}}{4\,\text{s}}=2.5\,\text{m/s}^2.
\end{equation}

Ahora que conocemos la aceleración del carro de Amy, podemos calcular la posición de ambos carros cuando \(t=3\,\text{s}\). Explícitamente, usando ecuaciones \eqref{xap} y \eqref{xdp}

\begin{equation}
x_A=\frac{1}{2}(2.5\,\text{m/s}^2)(3\,\text{s})^2,
\end{equation}

que es lo mismo que

\begin{equation}
x_A=11.25\,\text{m}.
\end{equation}

Para el carro de David

\begin{equation}
x_D=(2.5\,\text{m/s}^2)(3\,\text{s}-1\,\text{s})^2,
\end{equation}

que nos da

\begin{equation}
x_D=10\,\text{m}.
\end{equation}

Por lo tanto, el carro de Amy está adelante y la distancia entre los dos carros en \(t= 3\,\text{s}\) es \(x_A-x_D\), que numéricamente es

\begin{equation}
x_A-x_D=11.25\,\text{m}-10\,\text{m}=1.25\,\text{m}.
\end{equation}

(b) Ahora, consideremos que la longitud del circuito es \(40\) metros. El problema nos pide que averigüemos cuál será la diferencia de tiempo entre los carros ganadores y perdedores. Para responder a esta pregunta, podemos usar las ecuaciones para las posiciones de los carros en términos del tiempo dado en las ecuaciones \eqref{xap} y \eqref{xdp}. Tendremos que resolver el tiempo \(t\) en el que cada carro recorre una distancia de 40 \(\,\text{m}\). De esta manera, usamos \(x_A=40\,\text{m}\) y resolvemos el tiempo de Amy, y luego usamos \(x_D= 40\,\text{m}\) y calcula el tiempo de David.

Entonces despejemos el tiempo \(t \) en la ecuación \eqref{xap} multiplicando por \(2/a_A\):

\begin{equation}
t^2=\frac{2x_A}{a_A},
\end{equation}

Ahora sacamos la raíz cuadrada en ambos lados

\begin{equation}
t=\sqrt{\frac{2x_A}{a_A}}.
\end{equation}

Por tanto, el tiempo que necesitó el carro de Amy para terminar el circuito es

\begin{equation}
t_A=\sqrt{\frac{2(40\,\text{m})}{2.5\,\text{m/s}^2}}\approx5.66\,\text{s}.
\end{equation}

Ahora, despejemos el tiempo \(t\) en la ecuación \eqref{xdp}:

\begin{equation}
(t-t_D)^2=\frac{x_D}{a_A},
\end{equation}

lo que después de sacar la raíz cuadrada en ambos lados nos da

\begin{equation}
t-t_D=\sqrt{\frac{x_D}{a_A}}
\end{equation}

Finalmente,

\begin{equation}
t=t_D+\sqrt{\frac{x_D}{a_A}}.
\end{equation}

Usando los valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
t_D=1\,\text{s}+\sqrt{\frac{40\,\text{m}}{2.5\,\text{m/s}^2}}=5\,\text{s}.
\end{equation}

Contrastando ambas ocasiones, podemos concluir que el carro de David llega primero y el carro de Amy llega \(t_A-t_D=5.66\,\text{s}-5\,\text{s}=0.66\,\text{s}\) más tarde.

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