Una cápsula espacial vuelve a entrar en la atmósfera de la Tierra y su movimiento se traza de acuerdo con la gráfica de rapidez vs. tiempo que se muestra arriba. Describa el movimiento del cohete según las indicaciones a continuación.
a) Describa brevemente la situación física en cada segmento de la gráfica.
b) Dibuje la gráfica de aceleración en función del tiempo.
c) Dibuje la gráfica de posición en función del tiempo.
d) En términos de las variables que se muestran en la primera figura, calcule el desplazamiento total de la cápsula.
(a) Primero, piense en la aceleración como la pendiente de cada segmento de la figura y luego use esto para tratar de describir con palabras lo que sucede en cada segmento.
(b) Encuentre la pendiente para cada segmento.
(c) Encuentre el área debajo de la curva para cada segmento.
(d) Sume los resultados obtenidos en el numeral anterior.
(a) Desde el tiempo \(0\) al tiempo \(t_1\) hay un movimiento de aceleración positivo. La cápsula espacial se acelera debido a la gravedad.
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Desde el tiempo \(t_1\) al \(t_2\) la aceleración es cero. La cápsula espacial está alcanzando su velocidad terminal (el peso es igual y opuesto a la fuerza de arrastre debido a la atmósfera).
Desde el tiempo \(t_2\) al \(t_3\), la aceleración es negativa. La cápsula abre el paracaídas, por lo que disminuye su velocidad .
Desde el tiempo \(t_3\) al tiempo \(t_4\) la aceleración es cero. Éste será el caso del equilibrio cuando el peso y la fuerza de arrastre ejercida por el paracaídas se equilibren.
(b) Primero debemos encontrar la aceleración para todos los intervalos de tiempo. Dado que se trata de un movimiento de aceleración constante, utilizaremos en cada intervalo la ecuación que define la aceleración para el caso constante, a saber:
\begin{equation*}
\vec{a}=\frac{\vec{v}_f-\vec{v}_i}{t_f-t_i}.
\end{equation*}
Luego podemos esbozar el gráfico de aceleración frente al tiempo, como se ve en la siguiente figura:
Aceleración de la cápsula espacial al entrar en la Tierra en función del tiempo.
(c) Para trazar el gráfico de posición debemos encontrar el desplazamiento \(\Delta x\) a través de las cuatro regiones. Podemos hacer esto encontrando el área debajo de la curva de velocidad para cada región, o simplemente usando la expresión para la posición en términos de aceleración constante. Usaremos el segundo método, que nos da:
\begin{equation*}
\Delta \vec{x}=\vec{v}_i(t_f-t_i)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}\vec{a}(t_f-t_i)^2,
\end{equation*}
donde \(t_f\) y \(t_i\) son los tiempos al principio y al final de cada región, \(\vec{v}_i\) es la velocidad en el tiempo \(t_i\) y \(\vec{a}\) es la aceleración en la región. Entonces, el resultado se muestra en la siguiente figura:
Posición de la cápsula espacial al entrar en la Tierra en función del tiempo.
(d) El desplazamiento total de la cápsula será la suma de los desplazamientos de cada segmento, explícitamente
\begin{equation*}
\Delta \vec{x}_{\text{total}}=\Delta \vec{x}_1+\Delta \vec{x}_2+\Delta \vec{x}_3+\Delta \vec{x}_4,
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
\Delta \vec{x}_{\text{total}}=\frac{1}{2}(v_1+v_0)t_1\,\hat{\textbf{i}}+v_1(t_2-t_1)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}(v_2+v_1)(t_3-t_2)\,\hat{\textbf{i}}+v_2(t_4-t_3)\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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a) Para hacer un análisis físico de la cápsula espacial que ingresa a la Tierra, consideraremos que el eje positivo está hacia abajo. Por lo tanto, velocidad positiva y las aceleraciones están en la dirección de la fuerza de gravedad, hacia el centro de la Tierra.
Desde el tiempo \(0\) al tiempo \(t_1\) podemos ver en el gráfico que, a medida que aumenta el tiempo, también lo hace la velocidad . Esto significa que tenemos un movimiento de aceleración positivo. Esta aceleración es constante porque la pendiente de la curva es constante (es una línea recta). Podemos imaginar que para este intervalo de tiempo, la cápsula espacial se acelera debido a la gravedad.
[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]
Desde el tiempo \(t_1\) hasta \(t_2\) la rapidez de la cápsula es constante, lo que significa que la aceleración es cero. Físicamente, esto podría indicar el momento en que la cápsula espacial está alcanzando su velocidad terminal, en el que el peso es igual y opuesto a la fuerza de arrastre debido a la atmósfera (estas fuerzas se anulan y luego la aceleración se vuelve cero).
Desde el tiempo \(t_2\) hasta \(t_3\), la velocidad disminuye a una tasa constante, es decir, linealmente. Esto significa que la aceleración es negativa. Físicamente, esto corresponde a la región en la que la cápsula abre el paracaídas, disminuyendo así la velocidad .
Desde el tiempo \(t_3\) al tiempo \(t_4\) la velocidad es constante, lo que significa que no hay aceleración. Físicamente, éste será el caso de equilibrio cuando el peso y la fuerza de arrastre ejercida por el paracaídas se equilibren.
b) Para esbozar la gráfica de la aceleración frente al tiempo, primero debemos encontrar la aceleración para todos los intervalos de tiempo. Dado que se trata de un movimiento de aceleración constante, utilizaremos en cada intervalo la ecuación que define la aceleración para el caso constante, a saber:
\begin{equation}
\label{acel}
\vec{a}=\frac{\vec{v}_f-\vec{v}_i}{t_f-t_i},
\end{equation}
donde \(\vec{v}_f \) y \(\vec{v} _i\) son las velocidades en los tiempos \(t_f\) y \(t_i\) respectivamente.
Para la primera región, entre 0 y \(t_1\), las velocidades son de magnitud \(v_0 \) y \(v_1\), y ambas positivas. Por tanto, podemos usar la ecuación \eqref{acel} para escribir una expresión para la aceleración en este intervalo de tiempo, a saber
\begin{equation}
\vec{a}_1=\frac{v_1\,\hat{\textbf{i}}-v_0\,\hat{\textbf{i}}}{t_1-0},
\end{equation}
que se simplifica a
\begin{equation}
\label{}
\vec{a}_1=\frac{v_1-v_0}{t_1}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Note que desde \(v_1>v_0\), la aceleración es positiva (observe también que usamos los vectores unitarios para indicar la dirección de las velocidades).
Para la segunda región, entre \(t_1\) y \(t_2\), las velocidades son \(v_1\) y nuevamente \(v_1\) (y positivas). Por tanto, podemos usar la ecuación \eqref{acel} para escribir una expresión para la aceleración en este intervalo de tiempo, a saber
\begin{equation}
\vec{a}_2=\frac{v_1\,\hat{\textbf{i}}-v_1\,\hat{\textbf{i}}}{t_2-t_1},
\end{equation}
es decir,
\begin{equation}
\vec{a}_2=0\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
que es el resultado que esperábamos ya que la velocidad no cambia.
Para la tercera región, entre \(t_2\) y \(t_3\), las velocidades son de magnitud \(v_1\) y \(v_2\) (y ambas son positivas). Por tanto, podemos usar la ecuación \eqref{acel} para escribir una expresión para la aceleración en este intervalo de tiempo, a saber
\begin{equation}
\vec{a}_3=\frac{v_2\,\hat{\textbf{i}}-v_1\,\hat{\textbf{i}}}{t_3-t_2}.
\end{equation}
Note que desde \(v_2<v_1\), la aceleración es negativa
Finalmente, para la cuarta región, entre \(t_3\) y \(t_4\), las rapideces son \(v_2\) y \(v_2\) (la misma rapidez ). Por tanto, podemos usar la ecuación \eqref{acel} para escribir una expresión para la aceleración en este intervalo de tiempo, a saber
\begin{equation}
\vec{a}_4=\frac{v_2\,\hat{\textbf{i}}-v_2\,\hat{\textbf{i}}}{t_4-t_3},
\end{equation}
que se puede simplificar a
\begin{equation}
\vec{a}_4=0\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
un resultado que esperábamos ya que la velocidad no cambia en esta región.
Luego podemos esbozar la gráfica de aceleración en función del tiempo, como se ve en la figura 1.
Figura 1: Aceleración de la cápsula espacial al entrar en la Tierra en función del tiempo.
c) Para trazar el gráfico de posición debemos encontrar el desplazamiento \(\Delta x\) a través de las cuatro regiones. Podemos hacer esto encontrando el área debajo de la curva de velocidad para cada región, o simplemente usando la expresión para la posición en términos de aceleración constante. Usaremos el segundo método, que nos da:
\begin{equation}
\label{deltax}
\Delta \vec{x}=\vec{v}_i(t_f-t_i)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}\vec{a}(t_f-t_i)^2,
\end{equation}
donde \(t_f\) y \(t_i\) son los tiempos al principio y al final de cada región, \(\vec{v}_i\) es la velocidad en el tiempo \(t_i\) y \(\vec{a}\) es la aceleración en la región. Podemos usar la expresión explícita para \(\vec{a}\) dada por la ecuación \eqref{acel} dentro de la ecuación \eqref{deltax} , para obtener
\begin{equation}
\Delta \vec{x}=v_i(t_f-t_i)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}\left(\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}\right)(t_f-t_i)^2\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
que se simplifica a
\begin{equation}
\Delta \vec{x}=v_i(t_f-t_i)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}(v_f-v_i)(t_f-t_i)\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
y después de hacer la suma, esto se simplifica aún más a
\begin{equation}
\label{deltax2}
\Delta \vec{x}=\frac{1}{2}(v_f+v_i)(t_f-t_i)\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Usando la ecuación \eqref{deltax2} para la primera región, entre 0 y \(t_1\), encontramos que el desplazamiento en esta región es:
\begin{equation}
\Delta \vec{x}_1=\frac{1}{2}(v_1+v_0)(t_1-0)\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
que se simplifica a
\begin{equation}
\label{dx1}
\Delta \vec{x}_1=\frac{1}{2}(v_1+v_0)t_1\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Ahora, para la región 2 tenemos, usando la ecuación para el desplazamiento dada en \eqref{deltax2} , que
\begin{equation}
\Delta \vec{x}_2=\frac{1}{2}(v_1+v_1)(t_2-t_1)\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
que se simplifica a
\begin{equation}
\label{dx2}
\Delta \vec{x}_2=v_1(t_2-t_1)\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Para la región 3 obtenemos, usando la ecuación para el desplazamiento dado en \eqref{deltax2} , que
\begin{equation}
\label{dx3}
\Delta \vec{x}_3=\frac{1}{2}(v_2+v_1)(t_3-t_2)\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Finalmente, para la región 4, usamos la ecuación \eqref{deltax2} para obtener el desplazamiento:
\begin{equation}
\label{dx4}
\Delta \vec{x}_4=\frac{1}{2}(v_2+v_2)(t_4-t_3)\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
que se simplifica a
\begin{equation}
\Delta \vec{x}_4=v_2(t_4-t_3)\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Figura 2: Posición de la cápsula espacial al entrar en la Tierra en función del tiempo.
Para trazar el gráfico, sabemos que en la región de aceleración positiva (región 1) y velocidad positiva, la posición debe aumentar como una parábola que se abre hacia arriba. En las regiones donde la aceleración es cero (regiones 2 y 4) y la velocidad es positiva, la posición debe aumentar linealmente. En la región donde la aceleración es negativa (región 3) y la velocidad es positiva, la posición debe aumentar como una parábola que se abre hacia abajo. Teniendo todo esto en cuenta y suponiendo que la posición inicial es \(x_0\), tenemos la gráfica, como se muestra en la siguiente figura. El punto de partida es \(x_0\). En el momento \(t_1\) la posición es \(\vec{x}_0+\Delta \vec{x}_1\), en el momento \(t_2\) la posición es \(\vec{x}_0+\Delta \vec{x}_1+\Delta \vec{x}_2\), en el momento \(t_3\) la posición es \(\vec{x}_0+\Delta \vec{x}_1+\Delta \vec{x}_2+\Delta \vec{x}_3\) y la posición en el momento \(t_4\) es \(\vec{x}_0+\Delta \vec{x}_1+\Delta \vec{x}_2+\Delta \vec{x}_3+\Delta \vec{x}_4\).
d) El desplazamiento total de la cápsula será la suma de los desplazamientos dados por las ecuaciones \eqref{dx1}, \eqref{dx2}, \eqref{dx3} y \eqref{dx4}, explícitamente
\begin{equation}
\Delta \vec{x}_{\text{total}}=\Delta \vec{x}_1+\Delta \vec{x}_2+\Delta \vec{x}_3+\Delta \vec{x}_4,
\end{equation}
es decir,
\begin{equation}
\Delta \vec{x}_{\text{total}}=\frac{1}{2}(v_1+v_0)t_1\,\hat{\textbf{i}}+v_1(t_2-t_1)\,\hat{\textbf{i}}+\frac{1}{2}(v_2+v_1)(t_3-t_2)\,\hat{\textbf{i}}+v_2(t_4-t_3)\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
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