María y Diego corren el uno hacia el otro en un campo de maíz. María corre con una velocidad de \(1 \,\text{m}/\text{s}\) y Diego con una velocidad de \(3 \,\text{m}/\text{s}\), en las direcciones que se muestran en la figura.
a) Calcule la velocidad de María con respecto a Diego.
b) Calcule la velocidad de Diego con respecto a María.
(a) Coloque un sistema de coordenadas y descomponga por componentes la velocidad de Diego. Luego aplique las ecuaciones de velocidad relativa.
(b) El resultado anterior es similar al que está buscando en esta parte de la respuesta, pero tenga cuidado con la orientación.
(a) Para calcular la velocidad de María en relación con Diego, usemos la siguiente ecuación:
\begin{equation*}
\vec{v}_{M/D}=\vec{v}_{M/G}-\vec{v}_{D/G},
\end{equation*}
donde \(M/D\) es la velocidad de María con respecto a Diego, \(M/G\) y \(D/G\) la velocidad de María y la velocidad de Diego respectivamente, en relación con el suelo.
La ecuación de Diego se puede escribir con sus componentes como:
\begin{equation*}
\vec{v}_{D/G}=-{v}_{{D/G}_x}\,\hat{\textbf{i}}-{v}_{{D/G}_y}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}
Estableciendo un sistema de coordenadas tal que:
\begin{equation*}
\vec{v}_{M/G}=1\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation*}
entonces obtenemos:
\begin{equation*}
\vec{v}_{M/D}\approx 2.93\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+2.30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}
(b) El resultado es el mismo que el anterior que encontramos pero con signo negativo:
\begin{equation*}
\vec{v}_{D/M}\approx -2.93\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-2.30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
a) Para calcular la velocidad de María con respecto a Diego, debemos encontrar una expresión que relacione esta velocidad con la velocidad de María y Diego con respecto al suelo. En general, la velocidad relativa entre dos objetos A y B viene dada por la diferencia entre las velocidades de A y B con respecto al suelo:
\begin{equation}
\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_{A/G}-\vec{v}_{B/G},
\end{equation}
donde \(\vec{v}_{A/B}\) es la velocidad de A con respecto a B, \(\vec{v}_{A/G}\) es la velocidad de A relativa al suelo, y \(\vec{v}_{B/G}\) es la velocidad de B relativa al suelo. Apliquemos esta ecuación para el caso de Mary y Diego :
\begin{equation}
\label{relative1}
\vec{v}_{M/D}=\vec{v}_{M/G}-\vec{v}_{D/G}.
\end{equation}
donde \(\vec{v}_{M/D}\) es la velocidad de María relativa a Diego, \(\vec{v}_{M/G}\) es la velocidad de María relativa al suelo, y \(\vec{v}_{D/G}\) es la velocidad de Diego relativa al suelo.
Ahora busquemos una expresión explícita para la velocidad de Mary y Diego con respecto al suelo. Para hacer eso, comencemos colocando un sistema de coordenadas, como se muestra en la siguiente figura:
Figura 1: Sistema coordinado
Según nuestro sistema de coordenadas colocado en el suelo, María se mueve a lo largo del eje X:
\begin{equation}
\label{vmg1}
\vec{v}_{M/G}={v}_{M/G}\,\hat{\textbf{i}}=1\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
donde usamos el hecho de que su rapidez con respecto al suelo es de un metro por segundo.
Por otro lado, Diego se mueve a lo largo de los ejes X negativo y Y negativo. Entonces, podemos escribir la velocidad total de Diego en términos de componentes, así:
\begin{equation}
\label{vdg2}
\vec{v}_{D/G}=-{v}_{{D/G}_x}\,\hat{\textbf{i}}-{v}_{{D/G}_y}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Ahora, usando trigonométría básica, podemos escribir la componente X y la componente Y en términos del ángulo \(40^{\circ}\) y la velocidad total de Diego. En particular, encontramos que
\begin{equation}
\label{vdg}
\vec{v}_{D/G}=-(3\,\text{m/s})\sin(40^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}-(3\,\text{m/s})\cos(40^{\circ})\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}
donde usamos el hecho de que su rapidez es \(3 \, \text{m/s} \).
Usando las expresiones explícitas para las velocidades dadas por las ecuaciones \eqref{vmg1} y \eqref{vdg} en la ecuación \eqref{relative1} , obtenemos
\begin{equation}
\vec{v}_{M/D}=\left(1\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}\right)-\left(-(3\,\text{m/s})\sin(40^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}-(3\,\text{m/s})\cos(40^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}\right),
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{v}_{M/D}\approx 2.93\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}+2.30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
b) La velocidad de Diego relativa a María se puede encontrar exactamente de la misma manera, usando la ecuación \(\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_{A/G}-\vec{v}_{B/G},\). Pero ahora el orden de las variables es el opuesto porque queremos la diferencia entre la velocidad de Diego relativa al suelo y la velocidad de María relativa al suelo:
\begin{equation}
\label{relative2}
\vec{v}_{D/M}=\vec{v}_{D/G}-\vec{v}_{M/G}.
\end{equation}
Lo bueno es que no tenemos necesidad de calcular esto porque es lo mismo que \((\vec{v} _{M/G} – \vec{v} _{D/G} ) \), que encontramos anteriormente, excepto que tiene un signo negativo:
\begin{equation}
\label{relative3}
\vec{v}_{D/M}=\vec{v}_{D/G}-\vec{v}_{M/G}=-(\vec{v}_{M/G}-\vec{v}_{D/G}).
\end{equation}
Por lo tanto, obtenemos
\begin{equation}
\vec{v}_{D/M}\approx -2.93\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-2.30\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Esto siempre es cierto: la velocidad relativa de A con respecto a B es la misma que la velocidad relativa de B con respecto a A con signo menos.
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