Los chigüiros son una especie que evolucionó en América del Sur y está estrechamente relacionada con el conejillo de indias domesticado. Un lindo chigüiro llamado Ricciardo está parado en un montículo de 2 m de altura y está tratando de llegar al otro lado de un arroyo. Los conejillos de indias y los chigüiros evolucionaron en las montañas de los Andes, que reciben una cantidad significativa de lluvia, y el arroyo tiene actualmente 3 metros de ancho debido a una tormenta reciente. Calcule la rapidez mínima a la que el chigüiro necesita correr para llegar al otro lado de forma segura, asumiendo que la rapidez inicial del chigüiro es completamente horizontal.
Usando las ecuaciones de aceleración constante a lo largo de Y, intente encontrar el tiempo del movimiento. Luego, intente encontrar la rapidez en el caso horizontal.
La ecuación de movimiento a lo largo de Y es:
\begin{equation}
y_c=y_{i,c}+v_{iy,c}t-\frac{1}{2}gt^2.
\end{equation}
Usando las variables conocidas y despejando \( t \), podemos obtener:
\begin{equation*}
t=\sqrt{\frac{2H}{g}}.
\end{equation*}
La ecuación de movimiento a lo largo de X, donde el movimiento tiene rapidez constante, es:
\begin{equation*}
x_c=v_{ix,c}t.
\end{equation*}
El tiempo ya estaba calculado. Considere que \( x_c = L \) para encontrar la rapidez mínima para que el chigüiro alcance el otro lado. Despejando \( v_ {ix, c} \), tenemos:
\begin{equation*}
v_{ix,c}^{\text{min}}=L\sqrt{\frac{g}{2H}}.
\end{equation*}
Usando valores numéricos, obtenemos:
\begin{equation*}
v_{ix,c}^{\text{min}}\approx 4.70\,\text{m/s}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
Nos han pedido que encontremos la rapidez mínima que necesita el chigüiro para llegar al otro lado del arroyo. Para abordar este problema, primero encontraremos el tiempo \( t \) que le toma al chigüiro caer una distancia \( H = 2 \, \text{m} \). Con este tiempo en mente, usaremos las ecuaciones de movimiento a lo largo del eje X para encontrar la distancia horizontal recorrida por el chigüiro durante la caída. Al exigir que esta distancia sea mayor que \( L = 3 \, \text{m} \), podemos encontrar la rapidez mínima requerida para que el chigüiro viaje con éxito y seguridad al otro lado.
Encontremos el tiempo que tarda el chigüiro en caer. Para ello, comenzamos eligiendo un sistema de coordenadas, como se indica en la figura 1.
Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en la parte inferior del acantilado de la izquierda. La altura de este acantilado es \( H \) y la longitud horizontal es \( L \). También se muestra la velocidad horizontal inicial del chigüiro.
Tenga en cuenta que a lo largo de Y, el chigüiro tiene una aceleración gravitacional negativa constante dada la elección del sistema. Por tanto, podemos escribir la ecuación de movimiento a lo largo de Y como
\begin{equation}
y_c\,\hat{\textbf{j}}=y_{i,c}\,\hat{\textbf{j}}+v_{iy,c}t\,\hat{\textbf{j}}-\frac{1}{2}gt^2\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}
donde \( y_ {i, c} = H \) es la posición inicial a lo largo del eje Y del chigüiro, \( v_ {iy, c} = 0 \) es la rapidez inicial a lo largo del eje Y del chigüiro y \( g = 9.8 \, \text{m/s} ^ 2 \) es la aceleración gravitacional. Después de eliminar la notación vectorial (ya que todo está a lo largo del mismo eje) y usando el hecho de que la rapidez vertical inicial es cero, obtenemos
\begin{equation}
y_c=y_{i,c}+0-\frac{1}{2}gt^2.
\end{equation}
Como queremos encontrar el tiempo que tarda el chigüiro en caer, establecemos \( y_c = 0 \) ( la posición final es cero). Por lo tanto, podemos escribir la ecuación anterior como
\begin{equation}
0=H-\frac{1}{2}gt^2.
\end{equation}
Resolviendo el tiempo \(t\), obtenemos
\begin{equation}
\frac{1}{2}gt^2=H,
\end{equation}
que, después de multiplicar por \(\frac{2}{g}\) en ambos lados, se convierte en
\begin{equation}
t^2=\frac{2H}{g}.
\end{equation}
Después de sacar la raíz cuadrada en ambos lados, esto produce
\begin{equation}
\label{time}
t=\sqrt{\frac{2H}{g}}.
\end{equation}
Por lo tanto, hemos encontrado una expresión para el tiempo de la caída. Ahora podemos usar este tiempo en las ecuaciones a lo largo de X para encontrar la rapidez horizontal mínima.
A lo largo de X, el chigüiro tiene velocidad constante (ya que sigue un movimiento semiparabólico). Dado el sistema, la velocidad a lo largo de X es positiva, por lo que obtenemos
\begin{equation}
x_c\,\hat{\textbf{i}}=x_{i,c}\,\hat{\textbf{i}}+v_{ix,c}t\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
donde \(x_{i,c}=0\) es la posición inicial del chigüiro y \(v_{ix,c}\) es la rapidez inicial del chigüiro a lo largo del eje X. Después de descartar la notación vectorial para enfocarnos en las magnitudes, y usando el hecho de que \( x_ {i, c} = 0 \), esto se convierte en
\begin{equation}
x_c=v_{ix,c}t.
\end{equation}
Para que el chigüiro llegue al otro lado de manera segura, debemos exigir que \(x_c>L\) (la posición horizontal final debe ser mayor que la distancia \(L\)). Entonces podemos usar la expresión para \(x_c\) dada arriba para escribir
\begin{equation}
v_{ix,c}t>L.
\end{equation}
Usando la expresión para el tiempo de caída dada por la ecuación \eqref{time} en esta desigualdad, obtenemos
\begin{equation}
v_{ix,c}\left(\sqrt{\frac{2H}{g}}\right)>L.
\end{equation}
Resolviendo para \(v_{ix,c}\), obtenemos
\begin{equation}
v_{ix,c}>L\sqrt{\frac{g}{2H}}.
\end{equation}
Por lo tanto, si la velocidad \(v_{ix,c}\) es mayor que \(L\sqrt{\frac{g}{2H}}\), el chigüiro llegará al otro lado de forma segura. Así, la velocidad mínima que debe tener el chigüiro es precisamente \( L \sqrt {\frac{g}{2H}}\), es decir,
\begin{equation}
v_{ix,c}^{\text{min}}=L\sqrt{\frac{g}{2H}}.
\end{equation}
Usando los valores numéricos, obtenemos
\begin{equation}
v_{ix,c}^{\text{min}}=(3\,\text{m})\sqrt{\frac{9.8\,\text{m/s}^2}{2(2\,\text{m})}},
\end{equation}
que es
\begin{equation}
v_{ix,c}^{\text{min}}\approx 4.70\,\text{m/s}.
\end{equation}
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