¡Globo de acero!

Realice un diagrama de cuerpo libre en el punto más alto del bucle para escribir una ecuación y use la conservación de energía para escribir otra ecuación. La combinación de estas ecuaciones le permitirá despejar la respuesta.

La segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \), en el punto más alto, se puede escribir como:

\begin{equation*}
N+mg = ma,
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde \(a \) es la aceleración centrípeta que es igual a \(\frac {v ^ 2}{R} \). En el caso límite \(N \to 0 \), y despejando \(v^2\) obtenemos:

\begin{equation*}
v^2 = gR.
\end{equation*}

Ahora, el principio de conservación de la energía mecánica se puede establecer como \(E_A=E_B \). En nuestro caso, elegiremos el punto \(A \) para que esté en el suelo, justo antes de ingresar al bucle, y \(B \) como el punto más alto del bucle. La ecuación para la conservación de la energía se puede escribir como:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}mv_A^2=mg2R+\frac{1}{2}mv_B^2,
\end{equation*}

donde \(v_B \) es la velocidad que se despejó anteriormente. Sustituyendo la velocidad en la última ecuación y despejando \(v_A \), obtenemos:

\begin{equation*}
v_A=\sqrt{5gR}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

1. Estrategia general

Necesitamos encontrar la rapidez mínima que necesita el ciclista al entrar en el bucle para tener éxito en la maniobra. Es decir, necesitamos encontrar la rapidez ilustrada en la figura 1.

Figura 1: Velocidad \(\vec{v} \) del ciclista al entrar en el bucle.

Para dar una respuesta a este problema, primero necesitaremos analizar qué condición se debe cumplir para que la bicicleta tenga una maniobra exitosa. A partir de este análisis, obtendremos la rapidez mínima que debe tener el ciclista en el punto más crítico de la trayectoria para realizar el bucle con éxito. Luego, utilizaremos la conservación de energía mecánica para relacionar esta rapidez mínima en el punto crítico con la rapidez del ciclista antes de ingresar al circuito.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, consideremos la condición requerida para que el ciclista realice un bucle exitoso. En todos los puntos de la trayectoria del ciclista se ejercerán dos fuerzas sobre él: el peso y la fuerza de contacto de la bicicleta con la pista. El peso es constante y su dirección es hacia abajo en todo momento. La magnitud del peso es \(mg\) donde \(m\) es la masa del ciclista más su bicicleta y \(g\) la constante gravitacional en la Tierra. La fuerza de contacto \(\vec{N}\) cambia su magnitud a medida que el ciclista pasa por el bucle, y su dirección siempre es perpendicular a la trayectoria.

La condición requerida para que el ciclista ejecute un bucle exitoso es que la fuerza de contacto sea siempre mayor que cero, es decir \(N>0\). Esta condición asegura que en todos los puntos de la trayectoria las ruedas de la bicicleta hagan contacto con la pista (de lo contrario, el ciclista se estaría cayendo). El punto crítico en el que la bicicleta puede perder contacto con la pista es el punto más alto de la trayectoria, donde la dirección del peso contribuye principalmente a esta pérdida de contacto. Para ver esto mejor, hagamos un diagrama de cuerpo libre en este punto crítico, usando un sistema de coordenadas donde Y apunta hacia abajo (y en este caso, hacia el centro del bucle):

2. Identificar las fuerzas y realizar un diagrama de cuerpo libre

Figura 2: diagrama de cuerpo libre para el ciclista en el punto más alto del bucle. Las fuerzas que se muestran son: el peso \(\vec{W}\) y la fuerza de contacto con el bucle \(\vec{N}\). El eje de coordenadas en este punto se elige con el eje Y apuntando hacia abajo.

Dado que el ciclista sigue un movimiento circular, tendrá una aceleración centrípeta (o radial) apuntando hacia el centro del bucle. Esto se ilustra en la figura 3.

Figura 3: velocidad tangencial \(\vec{v}\) y aceleración centrípeta \(\vec{a}\) en el punto más alto de la trayectoria del ciclista en el bucle. El sistema de coordenadas está orientado de manera que el eje Y positivo apunte hacia abajo.

3. Segunda ley de Newton en Y

Usando estas cifras como guía, ahora podemos usar la Segunda Ley de Newton a lo largo del eje Y:

\begin{equation}
\label{newton}
N\,\hat{\textbf{j}}+mg\,\hat{\textbf{j}}=ma\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde \(a\) es la magnitud de la aceleración centrípeta (la aceleración es positiva en Y, según el sistema utilizado). La aceleración centrípeta tiene una magnitud de

\begin{equation}
\label{ac}
a=\frac{v^2}{R},
\end{equation}

donde \(v\) es la magnitud de la velocidad (esta es la rapidez). Usando la ecuación \eqref{ac} en la ecuación \eqref{newton}, obtenemos

\begin{equation}
\label{newton2}
N\,\hat{\textbf{j}}+mg\,\hat{\textbf{j}}=m\frac{v^2}{R}\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}

o descartando la notación vectorial y centrándose en las magnitudes, el resultado es

\begin{equation}
\label{newton3}
N+mg=m\frac{v^2}{R}.
\end{equation}

4. Manipular las ecuaciones para encontrar una expresión para la rapidez

Ahora consideremos el caso más crítico, que es que, en el punto más alto de la trayectoria, la fuerza de contacto tiende a cero (es decir, el ciclista está a punto de caer). Entonces podemos tomar \(N\to 0\) como nuestro caso límite y escribir la ecuación \eqref{newton3} como

\begin{equation}
\label{newton4}
mg=m\frac{v^2}{R},
\end{equation}

donde podemos cancelar la masa para obtener

\begin{equation}
g=\frac{v^2}{R}.
\end{equation}

Despejando \(v^2\) obtenemos

\begin{equation}
v^2=gR,
\end{equation}

y tomando la raíz cuadrada en ambos lados, finalmente obtenemos

\begin{equation}
\label{velmin}
v=\sqrt{gR}.
\end{equation}

Así hemos obtenido una expresión para la rapidez mínima que debe tener el ciclista en el punto más alto para poder realizar con éxito el bucle.

5. Conservación de energía

Ahora podemos relacionar esta rapidez con la rapidez antes de entrar en el bucle utilizando el principio de conservación de energía mecánica. Podemos utilizar este principio porque no existen fuerzas no conservativas como la fricción. La energía mecánica \(E\) se puede escribir como la suma de la energía potencial \(U\) y la energía cinética \(K\), es decir

\begin{equation}
E=U+K.
\end{equation}

En nuestro caso, la energía potencial se debe a la gravedad y se puede calcular utilizando la siguiente expresión

\begin{equation}
U=mgh,
\end{equation}

donde \(h\) es la altura con respecto a un sistema de coordenadas. En este caso, elegiremos el origen del sistema de coordenadas en el piso. El lector recordará que en la parte a) colocamos el sistema de coordenadas en la parte superior del bucle, pero ahora es más conveniente elegir un sistema de coordenadas en el piso (siempre tenemos la libertad de usar diferentes sistemas de coordenadas en el mismo problema, siempre y cuando tengamos cuidado de no mezclar ecuaciones utilizadas para un sistema con ecuaciones utilizadas para el otro).

Figura 4: El punto A es el punto más bajo del bucle y el punto B es el punto más alto del bucle. En este caso, el sistema de coordenadas está ubicado en el punto A. La diferencia de altura entre los puntos A y B es el doble del radio del bucle \(R\).

Para la energía cinética \(K\), tenemos la expresión explícita

\begin{equation}
K=\frac{1}{2}mv^2.
\end{equation}

Por tanto, la energía mecánica es

\begin{equation}
\label{mechanicale}
E=mgh+\frac{1}{2}mv^2.
\end{equation}

Ahora bien, el principio de conservación de la energía mecánica se puede expresar como

\begin{equation}
\label{eaeb}
E_A=E_B,
\end{equation}

donde \(E_A\) y \(E_B\) son las energías en los puntos \(A\) y \(B\) respectivamente. En nuestro caso, elegiremos el punto \(A\) para que sea el piso justo antes de ingresar al bucle y \(B\) como el punto más alto del bucle, como se muestra en la última figura. Usando la expresión \eqref{mechanicale} en ambos lados de la ecuación \eqref{eaeb}, obtenemos

\begin{equation}
\label{conservation}
mgh_A+\frac{1}{2}mv_A^2=mgh_B+\frac{1}{2}mv_B^2,
\end{equation}

donde \(h_A\) y \(h_B\) son la altura de los puntos \(A\) y \(B\) respectivamente. Los términos \(v_A\) y \(v_B\) son las velocidades en los puntos \(A\) y \(B\) respectivamente. De la última figura, podemos ver que la altura en el punto \(A\) es cero \(h_A=0\) y la altura en el punto \(B\) es el doble del radio del bucle, \(h_B=2R\). rapidez \(v_B\) es la rapidez en el punto más alto, que tomaremos como la rapidez mínima dada por la ecuación \eqref{velmin} . Usando todo esto en la ecuación \eqref{conservation} , obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2}mv_A^2=mg(2R)+\frac{1}{2}m(gR).
\end{equation}

4. Manipular las ecuaciones para encontrar una expresión para la rapidez

Anulando la masa en todos los términos, obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2}v_A^2=2gR+\frac{1}{2}gR.
\end{equation}

Realizando la suma de fracciones a la derecha de la ecuación, obtenemos

\begin{equation}
\frac{1}{2}v_A^2=\frac{5}{2}gR.
\end{equation}

Despejando \(v_A\), obtenemos

\begin{equation}
v_A=\sqrt{5gR}.
\end{equation}

Así, hemos encontrado la rapidez mínima que debe tener el ciclista en la parte inferior del bucle para realizar una maniobra exitosa.

[/mepr-show]

You need to be registered and logged in to take this quiz. Log in or Register