¡Carrera!

Primero, trate de encontrar el tiempo que la pelota pasa en el aire a partir del movimiento de la pelota a lo largo de X. Luego, use el resultado en las ecuaciones de movimiento a lo largo de Y para obtener una ecuación cuadrática para la variable \(\theta \).

Para un objeto que viaja con rapidez constante, y recordando que \(v_x = v_i \cos \theta\).

\begin{equation*}
d_x=v_x t = v_i \cos \theta.
\end{equation*}

En Y, la pelota tiene una aceleración uniforme, por lo que la ecuación de movimiento en Y es:

\begin{equation*}
y_f = – \frac{1}{2} g t^2 + v_{i_y}t + y_i,
\end{equation*}

donde \(v_{i_y} = v_i \sin \theta \). Despejando \(t\) en la primera ecuación e insertando la variable \(t\) en la segunda, después de algo de álgebra obtenemos:

\begin{equation*}
0 = – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2} \tan^2 \theta + d_x \tan \theta + y_i – y_f – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2}.
\end{equation*}

Esta es una ecuación cuadrática, donde podemos usar \(Z = \tan \theta\) para resolverla.

Luego, para obtener \(\theta\) usamos \(\arctan\) para ambas soluciones obtenidas:
\begin{equation*}
\theta_1 = \arctan (0.059) = 3.38^\circ,
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
\theta_2 = \arctan (45.86) = 88.75^\circ.
\end{equation*}

Como nos pidieron el ángulo más pequeño, la respuesta es \(3.38^\circ \).

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

Sabemos que la distancia horizontal total que recorre un proyectil depende tanto de la rapidez horizontal como del tiempo de vuelo. Por lo tanto, para encontrar el ángulo mínimo necesario para un jonrón, necesitaremos relacionar este ángulo tanto con la distancia horizontal como con el tiempo de vuelo. Y observe que debemos asegurarnos, no solo de que la pelota recorra la distancia horizontal requerida, sino de que pase por encima de la barrera colocada entre el campo y el área de jonrones. Para relacionar todas estas variables, comencemos colocando un sistema de coordenadas en el suelo (ver figura 1), justo debajo de la pelota en el impacto.

Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en el suelo, justo debajo del lugar donde el bate golpea la pelota.

Ahora consideremos lo que está sucediendo a lo largo de X, y luego consideraremos lo que está sucediendo en Y. Durante el movimiento de un proyectil, la rapidez horizontal (en este caso, la rapidez en X) es siempre constante, por lo que la distancia horizontal total es simplemente dada por

\begin{equation}
\label{Baseball_dvt}
d_x=v_x t,
\end{equation}

donde \(v_x\) es la rapidez en X y \(t\) es el tiempo. La distancia que nos interesa es la mínima requerida para un jonrón (nos dicen que son 122 metros, pero insertaremos los valores al final). Sin embargo, no sabemos el tiempo ni la velocidad a lo largo de X, por lo que necesitamos más ecuaciones. Para encontrar la velocidad a lo largo de X, encontremos las componentes de la velocidad inicial a lo largo de X y a lo largo de Y con la ayuda de la figura 2.

Figura 2: Aquí se muestra la velocidad inicial de la pelota, junto con sus componentes a lo largo de los ejes X y Y. También se muestra el ángulo \(\theta \) entre la velocidad de la pelota y el eje horizontal.

A partir de aquí, está claro que

\begin{equation}
\label{Baseball_velX}
v_x = v_i \cos \theta,
\end{equation}

donde \(v_i\) es la rapidez inicial (que se conoce). Por lo tanto, usemos este resultado en la ecuación \eqref{Baseball_dvt} para obtener

\begin{equation}
d_x = (v_i \cos \theta) t.
\end{equation}

Esta ecuación relaciona el ángulo con la rapidez inicial y el tiempo. Pero como no sabemos el tiempo, no podemos simplemente encontrar el ángulo usando la ecuación. Entonces necesitamos más ecuaciones.

Queremos asegurarnos de que en el momento \(t\) en el que la pelota alcanza la distancia horizontal mínima para un jonrón, su altura debe ser suficiente para pasar la barrera. Dado que la altura está dada por la posición en Y, consideremos el movimiento de la pelota en Y.

En Y, la pelota tiene una aceleración uniforme (dada por la gravedad), por lo que la ecuación de movimiento en Y es

\begin{equation}
\label{Baseball_yf}
y_f \, \hat{\textbf{j}} = – \frac{1}{2} g t^2 \, \hat{\textbf{j}} + v_{i_y}t \, \hat{\textbf{j}} + y_i \, \hat{\textbf{j}},
\end{equation}

donde usamos el hecho de que la aceleración es negativa en Y según nuestro sistema, la velocidad inicial es positiva en Y y la posición inicial también es positiva en Y. Esta ecuación nos dice la altura en cualquier momento \(t \). Para encontrar el tiempo en el momento en que el balón pasa por encima de la barrera, debemos aprovechar el hecho de que la altura en ese punto tiene que ser de 3 metros (para que la pelota pueda pasar la barrera). Pero antes de insertar ese valor, usemos la misma cifra que antes para encontrar la velocidad inicial en Y.

Según la figura, esa rapidez viene dada por

\begin{equation}
\label{Baseball_velY}
v_y = v_i \sin \theta.
\end{equation}

Entonces usemos este resultado en la ecuación \eqref{Baseball_yf} para obtener

\begin{equation}
\label{Baseball_yf2}
y_f \, \hat{\textbf{j}} = – \frac{1}{2} g t^2 \, \hat{\textbf{j}} + (v_i \sin \theta)t \, \hat{\textbf{j}} + y_i \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Observe que esta ecuación todavía tiene el tiempo, que no sabemos, por lo que aún no podemos usarla para encontrar el ángulo. Sin embargo, podemos expresar ese tiempo en términos del ángulo usando la ecuación \eqref{Baseball_velX} . En particular, si dividimos ambos lados de la ecuación \eqref{Baseball_velX} por \((v_i\cos \theta)\), obtenemos

\begin{equation}
\label{Baseball_tiempo}
\frac{d_x}{v_i \cos \theta} = t.
\end{equation}

Usando entonces este resultado en la ecuación \eqref{Baseball_yf2} , obtenemos:

\begin{equation}
y_f \, \hat{\textbf{j}} = – \frac{1}{2} g \left( \frac{d_x}{v_i \cos \theta}\right)^2 \, \hat{\textbf{j}} + (v_i \sin \theta) \left( \frac{d_x}{v_i \cos \theta}\right) \, \hat{\textbf{j}} + y_i \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Centrémonos ahora solo en las magnitudes y simplifiquemos un poco cada término para obtener

\begin{equation}
y_f = – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2} \frac{1}{ \cos^2 \theta} + d_x \tan \theta + y_i,
\end{equation}

donde usamos que \(\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta\).

Ahora, usamos que \(1 / \cos ^ 2 \theta = \sec ^ 2 \theta \):
\begin{equation}
y_f = -g \frac{d_x^2}{2 v_i^2} \sec^2 \theta + d_x \tan \theta + y_i.
\end{equation}

Ahora, en esta ecuación podemos usar la primera pista (que \(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta \)):
\begin{equation}
y_f = – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2} ( 1 + \tan^2 \theta ) + d_x \tan \theta + y_i.
\end{equation}

Observe que la pista nos permitió escribir la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, especificamente, \(\tan \theta \). Podemos reorganizar los términos para obtener

\begin{equation}
0 = – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2} \tan^2 \theta + d_x \tan \theta + y_i – y_f – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2}.
\end{equation}

Usemos ahora la segunda pista y usemos la sustitución \(\tan \theta=Z \). Si lo hacemos, obtenemos

\begin{equation}
0 = – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2} Z^2 + d_x Z + y_i – y_f – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2},
\end{equation}

que es claramente una ecuación cuadrática de la forma \(ax^2+bx+c=0\) pero para \(Z\).
aquí \(a\) es \(- g\frac{d_x^2}{2 v_i^2}\), \(b\) es \(d_x\) y \(c\) es \( \left( y_i – y_f – g\frac{d_x^2}{2 v_i^2} \right)\).

Finalmente, podemos insertar los valores numéricos:

\begin{equation}
0 = – (9.8 \text{m/s}^2)\frac{(122 \, \text{m})}{2 (30 \text{m/s})^2} Z^2 + (122 \, \text{m}) Z + (1.5 \, \text{m}) – (6 \, \text{m}) – (9.8 \text{m/s}^2)\frac{(122 \, \text{m})}{2 (30 \text{m/s})^2}.
\end{equation}

Las soluciones de esta ecuación son \(Z_1 =0.059 \) y \(Z_2 = 45.86 \). Recuerda que \(Z = \tan \theta \), y entonces

\begin{equation}
(\tan \theta_1) = 0.059
\end{equation}

para la primera solución, y

\begin{equation}
(\tan \theta_2) = 45.86
\end{equation}

para la segunda solución. Para obtener \(\theta \), usamos \(\arctan \):
\begin{equation}
\theta_1 = \arctan (0.059) = 3.38^\circ,
\end{equation}
y

\begin{equation}
\theta_2 = \arctan (45.86) = 88.75^\circ.
\end{equation}

Como nos pidieron el ángulo más pequeño, la respuesta es \(3.38^\circ \).

You need to be registered and logged in to take this quiz. Log in or Register