Una viga de acero de 2 m de largo con un área de sección transversal de 20 \(\text{cm}^2\) se coloca firmemente entre dos paredes en un día de invierno con una temperatura de -10 \(^{\circ}\)C. En verano, la temperatura alcanza los 45 \(^{\circ}\)C.
(a) Si la viga no estuviera entre las paredes, ¿cuánto cambiaría su longitud en un día de verano?
(b) ¿Cuánta fuerza deben ejercer las paredes para evitar que la viga se expanda en el verano?
(c) Si la viga no resiste la fuerza y se rompe por la mitad, calcule la altura que alcanza el punto medio después de que la viga se rompe. Para esta parte, suponga que la viga es muy delgada.
Utilice los siguientes valores:
– Coeficiente de expansión lineal del acero: \(12 \times10^{- 6} \,^{\circ}\text{C}^{-1}\)
– Coeficiente de Young del acero : 200 GPa
a) Aplique la fórmula de expansión térmica lineal para obtener el cambio en la longitud.
b) Utilice la fórmula del módulo de Young para obtener la fuerza de la pared.
c) El teorema de Pitágora es útil para relacionar las dimensiones dadas.
a) Para una expansión térmica lineal obtenemos:
\begin{equation*}
\Delta L = L_i \alpha (T_f – T_i).
\end{equation*}
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Reemplazando los valores numéricos obtenemos:
\begin{equation*}
\Delta L = 1.32 \, \text{mm}.
\end{equation*}
b) Por la fórmula del módulo de Young tenemos:
\begin{equation*}
F_{\text{wall}} =\frac{Y A \Delta L}{L_i},
\end{equation*}
que con valores numéricos es:
\begin{equation*}
F_{\text{wall}} = 2.6 \times 10^{5} \, \text{N}.
\end{equation*}
c) Por el teorema de Pitágora, tenemos:
\begin{equation*}
h^2 + \left(\frac{L_i}{2}\right)^2 = \left(\frac{L_f}{2}\right)^2,
\end{equation*}
donde \(L_f = L_i + \Delta L\). Resolviendo para \(h\) es:
\begin{equation*}
h = \sqrt{\left(\frac{L_i + \Delta L}{2}\right)^2 – \left(\frac{L_i}{2}\right)^2},
\end{equation*}
e insertando valores numéricos se obtiene
\begin{equation*}
h = 0.036 \, \text{m}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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a) La primera parte del problema nos pide que calculemos cuánto cambia la longitud de la viga cuando llegan los meses de verano. Debemos usar el coeficiente de expansión lineal del acero para relacionar el cambio de temperatura con el cambio de longitud de la viga.
Figura 1: Longitud de la viga para dos temperaturas. En la viga de arriba, la temperatura es menor que la de la viga de abajo. También se muestra el área transversal circular \(A\).
A medida que aumenta la temperatura de la viga, aumentará su longitud L. El cambio fraccional de longitud \(\Delta\) \(L/L_i\) es directamente proporcional al cambio de temperatura \(\Delta T\). Podemos escribir esto como
\begin{equation}
\label{EQ:exp}
\frac{\Delta L}{L_i} = \alpha \Delta T,
\end{equation}
donde la constante de proporcionalidad \(\alpha\) es el coeficiente de expansión lineal del acero, que describe cuánto cambia la longitud para un cambio de temperatura dado. \(L_i\) es la longitud inicial de la viga y \(\Delta L\) es su cambio de longitud. Si escribimos \(\Delta T = T_f – T_i\), donde \(T_f\) y \(T_i\) son las temperaturas final e inicial de la viga, respectivamente, obtenemos
\begin{equation}
\label{EQ:exp2}
\frac{\Delta L}{L}= \alpha (T_f – T_i),
\end{equation}
y multiplicando la ecuación \eqref{EQ:exp} por \(L_i\) produce
\begin{equation}
\Delta L = L_i \alpha (T_f – T_i).
\end{equation}
Finalmente, después de insertar valores numéricos, obtenemos
\begin{equation}
\Delta L = (2 \, \text{m})(12 \times {10^{-6}} \, ^{\circ} \text{C}^{-1})( (45\, ^{\circ} \text{C}) – (-10\, ^{\circ} \text{C})) = 0.00132 \, \text{m} = 1.32 \, \text{mm}.
\end{equation}
b) La tensión resultante del cambio de longitud se puede encontrar utilizando el módulo de Young, a partir del cual podemos encontrar la fuerza ejercida por la viga sobre las paredes a medida que se expande. Luego, podemos encontrar la fuerza ejercida por las paredes para evitar que la viga se expanda aplicando la tercera ley de Newton.
A medida que la viga se expande, ejerce una fuerza hacia sus extremos, como se muestra en la figura 2.
Figura 2: Cuando la viga está restringida y, cuando se calienta, tiende a expandirse. Esto da como resultado una fuerza de contacto \(F\) ejercida sobre las paredes izquierda y derecha, que es proporcional a \(\Delta L\).
El cambio fraccional en la longitud \(\Delta L/L_i\) de la viga está relacionado con la fuerza \(F_{\text{beam}}\) se ejerce por la siguiente ecuación
\begin{equation}
\label{EQ:y}
\frac{F_{\text{beam}}}{A} = \frac{Y \Delta L}{L_i},
\end{equation}
donde \(A\) es el área de la sección transversal de la viga. Esta ecuación se puede interpretar de la siguiente manera: La fuerza por unidad de área ejercida por la viga a lo largo de su longitud durante la expansión es proporcional a su cambio fraccional de longitud. El módulo de Young es la constante de proporcionalidad en esta relación.
Ahora, si multiplicamos la ecuación \eqref{EQ:y} por \(A\), obtenemos
\begin{equation}
\label{EQ:fb}
F_{\text{beam}} = \frac{Y A \Delta L}{L_i}.
\end{equation}
\(F_{\text{beam}}\) es la magnitud de la fuerza que ejerce la viga a medida que se expande. De acuerdo con la tercera ley de Newton, para que la viga permanezca en las mismas posiciones, las paredes deben ejercer una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta a la fuerza ejercida por la viga mientras intenta expandirse, es decir.
\begin{equation}
F_{\text{wall}} = F_{\text{beam}},
\end{equation}
donde \(F_{\text{wall}}\) es la magnitud de la fuerza que las paredes deben ejercer sobre la viga para evitar que se expanda. Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:fb} , obtenemos
\begin{equation}
F_{\text{wall}} =\frac{Y A \Delta L}{L_i} .
\end{equation}
Ahora, insertando la ecuación \eqref{EQ:exp2} obtenemos
\begin{equation}
F_{\text{wall}} = Y A \alpha (T_f – T_i),
\end{equation}
y después de sustituir valores numéricos, obtenemos
\begin{equation}
F_{\text{wall}} = \left(200 \times 10^9 \frac{\text{N}}{\text{m}^2}\right) \left(0.002 \, \text{m}^2\right) \left(12 \times 10^{-6} \,^{\circ}\text{C}^{-1}\right) \left( 45 \,^{\circ} \text{C} – \left(- 10\,^{\circ} \text{C}\right)\right),
\end{equation}
que es equivalente a
\begin{equation}
\label{force}
F_{\text{wall}} = 2.6 \times 10^{5} \, \text{N}.
\end{equation}
c) Supongamos ahora que la viga se rompe debido a la fuerza calculada previamente en \eqref{force} . Como se muestra en la figura 3, la altura que alcanza el punto medio, la mitad inicial y la mitad final forman un triángulo rectángulo. Por lo tanto, podemos encontrar la altura que alcanza el punto medio después de que la viga se rompe usando el teorema de Pitágoras.
Figura 3: Viga rota con extremos restringidos. La longitud inicial y final de la mitad izquierda de la viga se muestra junto con la elevación \(h\) del punto medio.
Según la figura 3, el teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo resaltado se puede escribir como
\begin{equation}
h^2 + \left(\frac{L_i}{2}\right)^2 = \left(\frac{L_f}{2}\right)^2,
\end{equation}
restando \(\left(\frac{L_i}{2}\right)^2\) obtenemos
\begin{equation}
h^2 = \left(\frac{L_f}{2}\right)^2 – \left(\frac{L_i}{2}\right)^2.
\end{equation}
Finalmente, si sacamos la raíz cuadrada, obtenemos que la altura que alcanza el punto medio viene dada por
\begin{equation}
\label{EQ:h}
h = \sqrt{\left(\frac{L_f}{2}\right)^2 – \left(\frac{L_i}{2}\right)^2}.
\end{equation}
Ahora, se nos da \(L_i\), y encontramos el incremento en la longitud \(\Delta L\) en el inciso (a). Para encontrar \(L_f\), podemos escribir \(\Delta L\) como
\begin{equation}
\Delta L = L_f – L_i,
\end{equation}
y así, si sumamos \(L_i\) obtenemos
\begin{equation}
L_f = L_i + \Delta L.
\end{equation}
Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:h} obtenemos
\begin{equation}
h = \sqrt{\left(\frac{L_i + \Delta L}{2}\right)^2 – \left(\frac{L_i}{2}\right)^2},
\end{equation}
e insertando valores numéricos se obtiene
\begin{equation}
h = 0.036 \text{ m} = 3.6 \, \text{cm}.
\end{equation}
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