Ultimate Frisbee es un gran deporte en el que los jugadores lanzan un disco volador uno hacia el otro para anotar puntos mientras intentan mantener el disco alejado del equipo contrario. El juego se juega en todas las condiciones climáticas, incluidas las tormentas de lluvia y granizadas. El granizo ocurre raramente bajo condiciones climáticas específicas cuando el aire es cálido en la atmósfera superior pero frío en altitudes más bajas, y las nubes de lluvia se condensan primero en gotas de lluvia pero se congelan en granizos al acercarse al suelo. Supongamos que un frisbee de \(200 \, \text{g} \) está volando horizontalmente a \(14 \, \text{m} /\text{s} \) cuando de repente es golpeado por un trozo de granizo de \(100 \, \text{g} \) que cae verticalmente. Después de la colisión, el disco cambia su trayectoria por \(30^\circ \).
a) Encuentre la rapidez inicial del granizo.
b) Encuentre la rapidez final del disco.
Suponga que el granizo permanece en la parte superior del disco después de la colisión.
a) La conservación del momento a lo largo de los ejes \({x-} \) y \({y-} \) proporcionarán la relación entre las velocidades. Escriba el componente \({y-} \) de las velocidades con el ángulo desconocido y despeje la ecuación.
b) Utilice la relación encontrada en la parte (a) para conservación del momento para obtener la respuesta.
a) La ley de conservación del momento (\(\vec{p} _i = \vec{p} _f \)) se puede escribir como:
\begin{equation*}
m_dv_i^{\text{Disk}}\,\hat{\textbf{i}}-m_hv_i^{\text{hail}}\,\hat{\textbf{j}}=(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\cos(\theta)\,\hat{\textbf{i}}-(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\sin(\theta)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation*}
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donde \(v_i^{\text{hail} } \) y \(v_f^{\text{Disk-Hail} } \) son las variables desconocidas. Si dividimos los componentes \({x-} \) por los componentes \({y-} \), podemos cancelar la variable \(v_f ^ {\text{Disk-Hail} } \). Despejando \(v_i ^ {\text{hail} }\), obtenemos:
\begin{equation*}
v_i^{\text{Hail}}=\frac{m_dv_i^{\text{Disk}}}{m_h}\tan(\theta),
\end{equation*}
que con valores numéricos es:
\begin{equation*}
v_i^{\text{Hail}} \approx 16.16 \, \text{m/s}.
\end{equation*}
b) Despejando \(v_f ^ {\text{Disk-Hail} } \) en la relación obtenida para los componentes \({x-} \), obtenemos:
\begin{equation*}
v_f^{\text{Disk-Hail}}=\frac{m_dv_i^{\text{Disk}}}{(m_d+m_h)\cos(\theta)},
\end{equation*}
y con valores numéricos, nos da:
\begin{equation}
v_f^{\text{Disk-Hail}} \approx 10.78 \, \text{m/s}.
\end{equation}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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a) Primero, necesitamos calcular la rapidez inicial del granizo. Para abordar este problema, debemos utilizar la conservación del momento lineal \(\vec{p} \). El momento lineal se conserva a lo largo de las direcciones en las que la suma de fuerzas es cero. No hay fuerzas a lo largo del eje X, por lo que se conserva el momento lineal a lo largo de X. A lo largo del eje Y tenemos la gravedad. Para este problema asumiremos que la colisión es instantánea, entonces ocurre en un intervalo de tiempo \(\Delta t\to 0\) tal que el impulso a lo largo del eje Y causado por la gravedad \(-mg\Delta t\,\hat{\textbf{j}}\) se vuelve insignificante cuando \(\Delta \to 0 \). Por tanto, suponemos que el momento lineal a lo largo del eje Y también se conserva. Además, en una colisión, las únicas interacciones se deben a fuerzas internas, por lo que se conserva el momento lineal a lo largo del eje de la colisión. Esto implica que el momento lineal del sistema disco-granizo antes de la colisión \(\vec{p}_i \) y el momento lineal del sistema disco-granizo después de la colisión \(\vec{p}_f \) son iguales. Específicamente,
\begin{equation}
\label{cons}
\vec{p}_i=\vec{p}_f.
\end{equation}
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El momento lineal de un sólido se puede calcular usando la siguiente expresión
\begin{equation}
\vec{p}=m\vec{v},
\end{equation}
donde \(m \) es la masa del sólido y \(\vec{v} \) es la velocidad del sólido.
Ahora, calculemos el momento lineal del sistema disco-granizo antes de la colisión. Este momento lineal se puede expresar como la suma del momento lineal del disco y el del granizo antes de la colisión. El disco de masa \(m_d \) vuela horizontalmente con una rapidez \(v_{i}^{\text{Disk} } \). El granizo de masa \(m_h \) cae verticalmente con una rapidez \(v_{i}^{\text{Hail} } \).
Por tanto, la expresión para el momento lineal del sistema disco-granizo antes de la colisión es
\begin{equation}
\label{pi}
\vec{p}_i=m_dv_i^{\text{Disk}}\,\hat{\textbf{i}}-m_hv_i^{\text{hail}}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Después de la colisión, el granizo se pega al disco y se mueven juntos con una rapidez \(v_f^{\text{Disk-Hail} } \) dirigida a \(\theta = 30^{\circ} \) debajo del eje X.
Figura 1: Sistema de granizo y disco justo después de la colisión. Se mantienen unidos y tienen una velocidad común \(\vec{v}_{\text{Disk-Hail} } \) a un ángulo de \(30^{\circ} \) debajo del eje X.
Entonces podemos calcular el impulso después de la colisión descomponiendo la velocidad largo de los ejes X y Y usando las funciones trigonométricas de la siguiente manera
\begin{equation}
\vec{p}_f=(m_d+m_h)(v_f^{\text{Disk-Hail}}\cos(\theta)\,\hat{\textbf{i}}-v_f^{\text{Disk-Hail}}\sin(\theta)\,\hat{\textbf{j}}),
\end{equation}
donde la masa del sistema es solo la suma de las masas del disco y el granizo. Expandiendo el paréntesis de la velocidad en la ecuación anterior obtenemos
\begin{equation}
\label{pf}
\vec{p}_f=(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\cos(\theta)\,\hat{\textbf{i}}-(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\sin(\theta)\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}
Entonces podemos usar las expresiones explícitas para el momento lineal del sistema disco-granizo antes y después de su colisión dadas por las ecuaciones \eqref{pi} y \eqref{pf} en la ecuación de conservación \eqref{cons} para obtener
\begin{equation}
\label{cons2}
m_dv_i^{\text{Disk}}\,\hat{\textbf{i}}-m_hv_i^{\text{hail}}\,\hat{\textbf{j}}=(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\cos(\theta)\,\hat{\textbf{i}}-(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\sin(\theta)\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Para que la ecuación \eqref{cons2} se mantenga, los componentes a lo largo de X ( vector unitario \(\hat {\textbf{i} } \)) deben ser iguales. Lo mismo es cierto para los componentes a lo largo del eje Y ( vector unitario \(\hat {\textbf{j} } \)). Entonces, obtenemos las siguientes dos ecuaciones
\begin{equation}
\label{px}
m_dv_i^{\text{Disk}}=(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\cos(\theta),
\end{equation}
y
\begin{equation}
-m_hv_i^{\text{Hail}}=-(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\sin(\theta),
\end{equation}
o, cancelando el signo menos en esta última
\begin{equation}
\label{py}
m_hv_i^{\text{Hail}}=(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\sin(\theta).
\end{equation}
Por lo tanto, tenemos un sistema de dos ecuaciones (\eqref{px} y \eqref{py} ) y dos incógnitas: \(v^{\text{Disk-Hail} } \) y \(v_i^{\text{Hail} } \). Entonces, podemos resolver el sistema lineal de la siguiente manera.
Dividamos la ecuación \eqref{py} por la ecuación \eqref{px} para obtener
\begin{equation}
\frac{m_hv_i^{\text{Hail}}}{m_dv_i^{\text{Disk}}}=\frac{(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\sin(\theta)}{(m_d+m_h)v_f^{\text{Disk-Hail}}\cos(\theta)},
\end{equation}
que, después de cancelar el término \((m_d + m_h) v_f^{\text{Disk-Hail} } \) en el lado izquierdo de la ecuación, se convierte en
\begin{equation}
\frac{m_hv_i^{\text{Hail}}}{m_dv_i^{\text{Disk}}}=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.
\end{equation}
Despejando \(v_i^{\text{Hail} }\) obtenemos
\begin{equation}
v_i^{\text{Hail}}=\frac{m_dv_i^{\text{Disk}}}{m_h}\tan(\theta),
\end{equation}
donde hemos usado la identidad trigonométrica \(\sin(\theta)/\cos(\theta)=\tan(\theta)\). Usando los valores numéricos dados obtenemos
\begin{equation}
v_i^{\text{Hail}}=\frac{(200\,\text{g})(14\,\text{m/s})}{100\,\text{g}}\tan(30^{\circ}),
\end{equation}
\begin{equation}
v_i^{\text{Hail}}\approx 16.16\,\text{m/s}.
\end{equation}
b) Calculemos la rapidez final del disco. Ahora que conocemos \(v_i^{\text{Hail} } \), podemos despejar \(v_f^{\text{Disk-Hail} } \) usando o la ecuación \eqref{px} o la \eqref{py}. Usemos la ecuación \eqref{px} directamente y despejemos \(v_f^{\text{Disk-Hail} }\) de la siguiente manera
\begin{equation}
v_f^{\text{Disk-Hail}}=\frac{m_dv_i^{\text{Disk}}}{(m_d+m_h)\cos(\theta)}.
\end{equation}
Usando los valores numéricos obtenemos
\begin{equation}
v_f^{\text{Disk-Hail}}=\frac{(200\,\text{g})(14\,\text{m/s})}{(200\,\text{g}+100\,\text{g})\cos(30^{\circ})},
\end{equation}
\begin{equation}
v_f^{\text{Disk-Hail}}\approx 10.78\,\text{m/s},
\end{equation}
entonces, el disco de Ultimate cambia su dirección debido a la colisión y también disminuye su rapidez.
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