El cricket es un deporte que se inventó en el siglo XVI en Inglaterra y es una especie de cruce entre fútbol y béisbol. Emily está jugando al cricket y golpea una pelota que incide horizontalmente (\(20 \, \text{m} /\text{s} \)) con un bate de cricket. La pelota sale despedida del bate con una velocidad de \(35 \, \text{m} /\text{s} \) y en un ángulo de 45 grados con respecto al suelo. El bate y la pelota pesan \(1.4\) kg y \(0.2\) kg respectivamente. Si el tiempo de contacto es de \(0.2 \) segundos, ¿cuál es la Fuerza ejercida por el bate sobre la pelota?
Utilice la segunda ley de Newton o la ecuación de impulso para relacionar la fuerza, el tiempo de impacto y el cambio de momento.
La relación entre la fuerza y el momento lineal viene dada por la segunda ley de Newton en la forma:
\begin{equation*}
\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt},
\end{equation*}
[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]
donde \(d \vec{p} \) o \(dt \) como cambios finitos se pueden escribir como \(\Delta \vec{p} \) y \(\Delta t \) respectivamente. Entonces
\begin{equation*}
\vec{F}=\frac{m \vec{v}_f – m \vec{v}_i}{dt}.
\end{equation*}
Con valores numéricos:
\begin{equation*}
\vec{F}\approx 44.75\,\text{N}\,\hat{\textbf{i}}+24.75\,\text{N}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
[/mepr-show]
Para encontrar la fuerza que el bate ejerce sobre la pelota, necesitamos encontrar el cambio en el momento lineal de la pelota durante los 0.2 segundos que está en contacto con el bate. Como conocemos la masa \(m_b \) de la pelota, la velocidad inicial y la velocidad final, tenemos todo lo que necesitamos para encontrar el cambio en el momento lineal y la fuerza \(\vec{F} \) ejercida sobre la pelota. En particular, la relación entre la fuerza y el momento lineal viene dada por la segunda ley de Newton en la forma:
\begin{equation}
\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt},
\end{equation}
[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]
donde \(\frac {d \vec{p}}{dt} \) es la derivada del momento lineal \(\vec{p} \) con respecto al tiempo. En el caso en el que la fuerza se aplique en muy poco tiempo, la expresión anterior se puede aproximar a
\begin{equation}
\vec{F}\approx\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t},
\end{equation}
donde \(\Delta \vec{p} \) es el cambio en el momento lineal y \(\Delta t \) es el intervalo de tiempo en el que se ejerce la fuerza. Escribiendo explícitamente el cambio en el momento lineal, tenemos
\begin{equation}
\label{impulse1}
\vec{F}\approx \frac{\vec{p}_f – \vec{p}_i}{\Delta t},
\end{equation}
donde \(\vec{p} _f \) es el momento lineal final y \(\vec{p}_i \) el momento lineal inicial. Ya que el momento lineal está dado por \(\vec{p} = m \vec{v} \), entonces sabemos que \eqref{impulse1} se convierte en
\begin{equation}
\label{impulse2}
\vec{F}= \frac{m\vec{v}_f – m\vec{v}_i}{\Delta t},
\end{equation}
donde \(\vec{v} _f \) es la velocidad después de que Emily golpea la pelota con el bate y \(\vec{v}_i \) es la velocidad de la pelota antes de que ella la golpee.
Figura 1: A la izquierda, vemos la velocidad de la pelota antes de la colisión con el bate de Emily. A la derecha, vemos la velocidad de la pelota después de la colisión con el bate de Emily. Observe que después de la colisión, la velocidad tiene componentes a lo largo de los ejes X y Y.
La velocidad inicial, según el sistema de coordenadas que se muestra en la figura 1, viene dada por
\begin{equation}
\label{vi}
\vec{v}_i=-20\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
La velocidad de la pelota después de que Emily la golpea puede descomponerse en los ejes X y Y con el uso de las funciones trigonométricas \(\sin \) y \(\cos \), a saber
\begin{equation}
\label{vf}
\vec{v}_f=(35\,\text{m/s})\cos(45^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}+(35\,\text{m/s})\sin(45^{\circ})\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Usando los valores numéricos dados y la expresión explícita para las velocidades dadas por las ecuaciones \eqref{vi} y \eqref{vf} en la ecuación \eqref{impulse2}, obtenemos
\begin{equation}
\vec{F}\approx \frac{(0.2\,\text{kg})((35\,\text{m/s})\cos(45^{\circ})\,\hat{\textbf{i}}+(35\,\text{m/s})\sin(45^{\circ})\,\hat{\textbf{j>-(0.2\,\text{kg})(-20\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i>}{0.2\,\text{s}},
\end{equation}
que es igual a
\begin{equation}
\vec{F}\approx 44.75\,\text{N}\,\hat{\textbf{i}}+24.75\,\text{N}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
[/mepr-show]
Leave A Comment