¡Mamá Pájaro!

La trayectoria del pájaro se puede dividir en 4 etapas, y en cada etapa el tipo de movimiento es un poco diferente. Para cada segmento, use la ecuación de movimiento correspondiente dependiendo de si el objeto se mueve con aceleración constante o con velocidad constante.

Para analizar el problema, es más fácil dividir la trayectoria de la mamá pájaro en 4 partes diferentes:

• La primera parte donde el pájaro tiene una aceleración constante positiva.
• La parte donde el pájaro tiene velocidad constante (su aceleración es cero).
• La parte donde el pájaro tiene aceleración negativa y alcanza una velocidad igual a cero.
• La última parte, donde las aves regresan al nido con una conocida aceleración negativa.

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

Para todos los pasos, recuerde las siguientes ecuaciones:

\begin{equation*}
\vec{x}=\vec{x}+\vec{v}t+ \frac{1}{2}\vec{a}t^2,
\end{equation*}

y

\begin{equation*}
\vec{v}_1=\vec{v}_{i,1}+\vec{a}_{1}t.
\end{equation*}

Además, considere que el coeficiente de la variable t en la última ecuación es la aceleración del movimiento.

Parte 1:

Para la posición tenemos:

\begin{equation*}
x_{1}=\frac{1}{2}(2\,\text{m/s}^2)t^2.
\end{equation*}

Para la velocidad final de la primera parte tenemos:

\begin{equation*}
v_1=(2\,\text{m/s}^2)t.
\end{equation*}

Después de 5 segundos, la posición es:

\begin{equation*}
x_1=25\,\text{m},
\end{equation*}

y la velocidad es:

\begin{equation*}
v_1=10\,\text{m/s}.
\end{equation*}

Parte 2:

La posición se convierte en:

\begin{equation*}
x_{2}=25\,\text{m}+(10\,\text{m/s})(t-5\,\text{s}).
\end{equation*}

La velocidad en un movimiento de aceleración cero permanece constante. Entonces:

\begin{equation*}
v_2=10\,\text{m/s}.
\end{equation*}

Después de 10 segundos, la posición será:

\begin{equation*}
x_2=125\,\text{m}.
\end{equation*}

Parte 3:

Ahora, tenemos que encontrar la aceleración, ya que no la tenemos. La expresión de la velocidad en un movimiento acelerado es

\begin{equation*}
\vec{v}_3=\vec{v}_{i,3}+\vec{a}_{3}(t-t_3).
\end{equation*}

Resolviendo para \(\vec{a}_3\) en esta ecuación, obtenemos

\begin{equation*}
\vec{a}_3=-5\,\text{m/s}^2\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation*}

Para la posición tenemos:

\begin{equation*}
x_{3}=125\,\text{m}+(10\,\text{m/s})(t-15\,\text{s})-\frac{1}{2}5\,\text{m/s}^2(t-15\,\text{s})^2,
\end{equation*}

es decir,

\begin{equation}
x_3=135\,\text{m}.
\end{equation}

Parte 4:

Finalmente, para la parte 4, tenemos un movimiento de aceleración constante. Pero ahora no sabemos el tiempo para esta parte del movimiento.

La ecuación de movimiento se puede escribir como

\begin{equation*}
x_{4}=135\,\text{m}-\frac{1}{2}(1\,\text{m/s}^2)(t-17\,\text{s})^2.
\end{equation*}

Usando \(x_4=0\) y despejando \(t\) tenemos:

\begin{equation*}
t=17\,\text{s}+\sqrt{270}\,\text{s}\approx 33.4\,\text{s}.
\end{equation*}

La expresión de la velocidad en esta parte es

\begin{equation*}
v_4=-1\,\text{m/s}^2(t-17\,\text{s}),
\end{equation*}

que es negativa, como se esperaba. Para ver toda la trayectoria, consulte la siguiente figura:

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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El problema nos pide queencontremos la aceleración, velocidad y posición versus el tiempo. Consideraremos el nido como el origen de nuestro sistema de coordenadas (ver figura 1) y asumiremos que la mamá pájaro se mueve en una sola dirección durante toda su trayectoria a lo largo del eje X.

Para analizar el problema dividiremos la trayectoria de la mamá pájaro en 4 partes diferentes:

• La primera parte donde el pájaro tiene una aceleración constante positiva.
• La parte donde el pájaro tiene velocidad constante (su aceleración es cero).
• La parte donde el pájaro tiene aceleración negativa y alcanza una velocidad igual a cero.
• La última parte, donde las aves regresan al nido con una conocida aceleración negativa.

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Entonces escribamos una expresión para la posición, velocidad y aceleración de cada parte. Usaremos números como subíndice para diferenciar las variables de las diferentes partes.

Parte 1:

Para la parte 1, donde tenemos un movimiento de aceleración constante, la ecuación para la posición es

\begin{equation}
\vec{x}_1=\vec{x}_{i,1}+\vec{v}_{i,1}t+ \frac{1}{2}\vec{a}_{1}t^2.
\end{equation}

Debido a que el movimiento ocurre a lo largo del eje X, podemos escribir la ecuación anterior como

\begin{equation}
x_1\,\hat{\textbf{i}}=x_{i,1}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i,1}t\,\hat{\textbf{i}}+ \frac{1}{2}a_{1}t^2\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Omitiendo la notación vectorial, dado que todos los vectores unitarios son iguales, obtenemos

\begin{equation}
\label{mediox1}
x_1=x_{i,1}+v_{i,1}+ \frac{1}{2}a_{1}t^2,
\end{equation}

donde \(v_ {i,1}=0\,\text{m/s}\) es la velocidad inicial del ave cuando abandona el nido y \(x_{i,1}=0\) es la posición del nido. Por lo tanto, la ecuación \eqref{mediox1} se simplifica a

\begin{equation}
\label{x1}
x_{1}=\frac{1}{2}a_{1}t^2,
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
\label{x1n}
x_{1}=\frac{1}{2}(2\,\text{m/s}^2)t^2.
\end{equation}

La expresión de la velocidad en un movimiento de aceleración constante es

\begin{equation}
\label{v1}
\vec{v}_1=\vec{v}_{i,1}+\vec{a}_{1}t.
\end{equation}

Usando el hecho de que la aceleración es positiva según el sistema utilizado, obtenemos

\begin{equation}
v_1\,\hat{\textbf{i}}=v_{i,1}\,\hat{\textbf{i}}+a_1 t\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Después de simplificar, omitir la notación vectorial y usar el hecho de que \(v_{i,1}=0\,\text{m/s}\), obtenemos

\begin{equation}
v_1=a_1t,
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
\label{v1n}
v_1=(2\,\text{m/s}^2)t.
\end{equation}

Después de 5 segundos, la posición es, usando la ecuación \eqref{x1n},

\begin{equation}
x_{1}=\frac{1}{2}(2\,\text{m/s}^2)(5\,\text{s})^2.
\end{equation}

Es decir,

\begin{equation}
x_1=25\,\text{m}.
\end{equation}

La velocidad después de \(5\,\text{s}\) es, usando la ecuación \eqref{v1n}

\begin{equation}
v_1=(2\,\text{m/s}^2)(5\,\text{s}),
\end{equation}

que es igual a

\begin{equation}
v_1=10\,\text{m/s}.
\end{equation}

Estos valores numéricos serán importantes cuando calculemos la expresión de posición y velocidad en la parte 2. Explícitamente, la posición del pájaro en \(t=5\,\text{s}\) será la posición inicial para la parte 2, \(x_{i,2}\). La velocidad del pájaro en \(t=5\,\text{s}\) será la velocidad inicial de la parte 2, \(v_{i,2}\). Para la parte 1 tenemos entonces los gráficos (ver figura 2)

Parte 2:

Ahora, analicemos la parte 2 de la trayectoria. Comencemos escribiendo la ecuación de posición para un caso de velocidad constante. Tenemos que tener cuidado porque un tiempo de \(t_2=5\text{s}\) ya ha pasado. Así que necesitamos incluir este tiempo transcurrido escribiendo \(t-t_2\) en lugar de \(t\) en las ecuaciones correspondientes. Entonces, deberíamos escribir

\begin{equation}
\vec{x}_2=\vec{x}_{i,2}+\vec{v}_{i,2}(t-t_2).
\end{equation}

Debido a que el movimiento ocurre a lo largo del eje X, podemos escribir la ecuación anterior como

\begin{equation}
x_2\,\hat{\textbf{i}}=x_{i,2}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i,2}(t-t_2)\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

u omitiendo la notación vectorial, dado que todos los vectores unitarios son iguales, obtenemos

\begin{equation}
\label{mediox2}
x_2=x_{i,2}+v_{i,2}(t-t_2),
\end{equation}

donde \(v_{i,2}=10\,\text{m/s}\) es la velocidad del pájaro al comienzo de la parte 2 y \(x_{i,1}=25\,\text{m}\) es la posición del pájaro en \(t=t_2\) (ambas variables se encontraron en la parte anterior). Por lo tanto, la ecuación numérica \eqref{mediox2} se convierte en

\begin{equation}
\label{x2n}
x_{2}=25\,\text{m}+(10\,\text{m/s})(t-5\,\text{s}).
\end{equation}

La expresión de la velocidad en un movimiento de aceleración cero es simplemente

\begin{equation}
\label{v2}
\vec{v}_2=\vec{v}_{i,2},
\end{equation}

que explícitamente es

\begin{equation}
v_2\,\hat{\textbf{i}}=v_{i,2}\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Omitiendo la notación vectorial, esto es

\begin{equation}
\label{v2n}
v_2=10\,\text{m/s},
\end{equation}

una constante, como se esperaba. Después de 10 segundos, es entonces cuando \(t=15\,\text{s}\) (porque ya habían pasado cinco segundos) y la posición se puede encontrar usando la ecuación \eqref{x2n}:

\begin{equation}
x_{2}=25\,\text{m}+(10\,\text{m/s})(15\,\text{s}-5\,\text{s}),
\end{equation}

que es lo mismo que

\begin{equation}
x_2=125\,\text{m}.
\end{equation}

La velocidad después de \(10\,\text{s}\) es, usando la ecuación \eqref{v2n},

\begin{equation}
v_2=10\,\text{m/s}.
\end{equation}

Estos valores numéricos serán importantes cuando calculemos la expresión de posición y velocidad en la parte 3. Explícitamente, la posición del pájaro en \(t=15\,\text{s}\) será la posición inicial para la parte 3, \(x_{i,3}\). La velocidad del pájaro en \(t=15\,\text{s}\) será la velocidad inicial para la parte 3, \(v_{i,3}\). Para la parte 1 y 2 tenemos las siguientes gráficas:

Parte 3:

Continuamos con la parte 3 de la trayectoria. Nuevamente, debemos tener cuidado con las ecuaciones de movimiento porque un tiempo de \(t_3=15\text{s}\) ya ha pasado. Podemos incluir este tiempo transcurrido escribiendo \(t-t_3\) en lugar de \(t\) en estas ecuaciones. Ahora, tenemos que encontrar la aceleración debido a que no la tenemos (y no podemos escribir la ecuación de la posición sin dicha aceleración). La expresión de la velocidad en un movimiento acelerado es

\begin{equation}
\label{v3}
\vec{v}_3=\vec{v}_{i,3}+\vec{a}_{3}(t-t_3).
\end{equation}

Resolviendo para \(\vec{a}_3\) en esta ecuación, obtenemos

\begin{equation}
\label{v33}
\vec{a}_{3}(t-t_3)=-\vec{v}_3 +\vec{v}_{i,3},
\end{equation}

y entonces

\begin{equation}
\label{v34}
\vec{a}_{3}=\frac{-\vec{v}_3 +\vec{v}_{i,3}}{(t-t_3)},
\end{equation}

El problema dice que después de \(2\) segundos (es decir, \(t=17\,\text{s}\)) el pájaro se detiene, por lo que su velocidad es cero. Podemos usar esta información y la última ecuación para encontrar la aceleración:

\begin{equation}
\vec{a}_3=\frac{0\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}-10\,\text{m/s}\,\hat{\textbf{i}}}{17\,\text{s}-15\,\text{s}},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
\vec{a}_3=-5\,\text{m/s}^2\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Observe que es negativa, como se esperaba. Ahora, la ecuación de posición cuando tenemos un movimiento de aceleración constante es (una vez más)

\begin{equation}
\vec{x}_3=\vec{x}_{i,3}+\vec{v}_{i,3}(t-t_3)+\frac{1}{2}\vec{a}_3(t-t_3)^2.
\end{equation}

Debido a que el movimiento ocurre a lo largo del eje X, y debido a que la velocidad inicial de este movimiento es positiva y la aceleración negativa (como acabamos de encontrar), podemos escribir la ecuación como

\begin{equation}
x_3\,\hat{\textbf{i}}=x_{i,3}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i,3}(t-t_3)\,\hat{\textbf{i}}-\frac{1}{2}a_3(t-t_3)^2\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Usando el hecho de que \(v_{i,3}=10\,\text{m/s}\) es la velocidad inicial del pájaro al comienzo de la parte 3 y \(x_{i, 3}=125\,\text{m}\) es la posición del pájaro en \(t=t_3\), y centrándonos solo en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{x3n}
x_{3}=125\,\text{m}+(10\,\text{m/s})(t-15\,\text{s})-\frac{1}{2}5\,\text{m/s}^2(t-15\,\text{s})^2.
\end{equation}

Después de 2 segundos, es cuando un tiempo de \(t=17\,\text{s}\) ha pasado, esto da

\begin{equation}
x_{3}=125\,\text{m}+(10\,\text{m/s})(17\,\text{s}-15\,\text{s})-\frac{1}{2}5\,\text{m/s}^2(17\,\text{s}-15\,\text{s})^2,
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
x_3=135\,\text{m}.
\end{equation}

Estos valores numéricos serán importantes cuando calculemos la expresión de posición y velocidad en la parte 4. Explícitamente, la posición del pájaro en \(t=17\,\text{s}\) será la posición inicial para la parte 4, \(x_{i,4}\). La velocidad del pájaro en \(t=17\,\text{s}\) (que es cero) será la velocidad inicial para la parte 3, \(v_{i,4}\). Para la parte 1, 2 y 3 tenemos las siguientes gráficas:

Parte 4:

Finalmente, para la parte 4, tenemos un movimiento de aceleración constante. Pero ahora no sabemos el tiempo para esta parte del movimiento. Una vez más, tenemos que tener cuidado con las ecuaciones porque un tiempo de \(t_4=17\text{s}\) ya ha pasado. Podemos incluir este tiempo transcurrido escribiendo \(t-t_4\) en lugar de \(t\) en las ecuaciones de movimiento. Es decir,

\begin{equation}
\vec{x}_4=\vec{x}_{i,4}+\vec{v}_{i,4}(t-t_4)+\frac{1}{2}\vec{a}_4(t-t_4)^2.
\end{equation}

Debido a que el movimiento ocurre a lo largo del eje X negativo (el pájaro está regresando), entonces sabemos que su aceleración será negativa porque la velocidad final es negativa (la velocidad va de cero a un número negativo). Entonces, la ecuación de movimiento se puede escribir como

\begin{equation}
x_4\,\hat{\textbf{i}}=x_{i,4}\,\hat{\textbf{i}}+v_{i,4}(t-t_4)\,\hat{\textbf{i}}-\frac{1}{2}a_4(t-t_4)^2 \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(v_{i,4}=0\,\text{m/s}\) es la rapidez del pájaro al comienzo de la parte 4 (que es cero) y \(x_{i,4}=155\,\text{m}\) es la posición del pájaro en \(t=t_4\). Por lo tanto, si usamos estos valores y nos enfocamos en las magnitudes, podemos escribir esta ecuación como

\begin{equation}
\label{x4n}
x_{4}=135\,\text{m}-\frac{1}{2}(1\,\text{m/s}^2)(t-17\,\text{s})^2.
\end{equation}

A partir de esta ecuación, podemos resolver el tiempo que le toma al pájaro alcanzar nuevamente el nido si establecemos \(x_4\)=0\,\text{m} (ya que el origen del sistema de coordenadas está en el nido). Explícitamente, obtenemos

\begin{equation}
0\,\text{m}=135\,\text{m}-\frac{1}{2}(1\,\text{m/s}^2)(t-17\,\text{s})^2,
\end{equation}

que, después de resolver para \(t\), se convierte en

\begin{equation}
\frac{1}{2}(1\,\text{m/s}^2)(t-17\,\text{s})^2= 135\,\text{m},
\end{equation}

es decir,

\begin{equation}
(t-17\,\text{s})^2=270\,\text{s}^2.
\end{equation}.

Después de sacar la raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos

\begin{equation}
t-17\,\text{s}=\pm \sqrt{270}\,\text{s}.
\end{equation}

Tomamos el signo más en la ecuación para obtener un tiempo mayor que \(17\,\text{s}\) (ya que este es el tiempo que ya pasó). Explícitamente,

\begin{equation}
t=17\,\text{s}+\sqrt{270}\,\text{s}\approx 33.4\,\text{s}.
\end{equation}

La expresión de la velocidad en un movimiento de aceleración constante es, una vez más,

\begin{equation}
\label{v4}
\vec{v}_4=\vec{v}_{i,4}+\vec{a}_4(t-t_4),
\end{equation}

que explícitamente se convierte en

\begin{equation}
\vec{v}_4=v_{i,4}\,\hat{\textbf{i}}-a_4(t-t_4)\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}

ya que la aceleración es negativa. Por lo tanto,

\begin{equation}
v_4=v_{i,4}+a_4(t-t_4).
\end{equation}

Numéricamente, la ecuación anterior produce

\begin{equation}
v_4=0\,\text{m/s}-1\,\text{m/s}^2(t-17\,\text{s}),
\end{equation}

que es negativa, como se esperaba (el pájaro está regresando y, por lo tanto, su velocidad va a lo largo del eje X negativo). Para toda la trayectoria, tenemos

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