¡Jacuzzi!

a) Utilice la definición de entropía como una integral del calor diferencial y realice la integral con las temperaturas dadas.

b) Considere el aire como un sistema isotérmico. La definición de entropía se dará entonces en términos de calor y temperatura constante del aire.

c) Ya encontró las dos entropías necesarias para encontrar la suma.

a) El cambio de entropía como expresión general es:

\begin{equation*}
\Delta S=\int\frac{dQ}{T},
\end{equation*}

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donde \(dQ = mc dT\) como el cambio de calor del agua.

La integral se convierte en:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{water}}=\int \frac{mc\,dT}{T}.
\end{equation*}

Después de realizar la integral obtenemos:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{water}}= mc\ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
\end{equation*}

que con valores numéricos es:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{water}} \approx – 1.49 \times 10^6 \, \text{J/K}.
\end{equation*}

b) Para el aire como sistema isotérmico, la temperatura se puede sacar de la integral para obtener:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{air}}=\frac{Q_{\text{air}}}{T_{\text{air}}},
\end{equation*}

donde \(Q_{\text{air}} = -Q_{\text{water}}\) que se encuentra fácilmente con los valores dados del problema ya que \(Q_{\text{water}} = mc \Delta T\). Entonces:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{air}}\approx 1.579 \times 10^6 \,\text{J/K}.
\end{equation*}

c) La entropía total se puede calcular como:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{system}}=\Delta S_{\text{water}}+\Delta S_{\text{air}}.
\end{equation*}

Y numéricamente:

\begin{equation*}
\Delta S_{\text{system}}\approx 8.9 \times 10^4 \,\text{J/K}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

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Podemos usar la definición de cambio de entropía para encontrar cuánto cambian la entropía del agua y del aire circundante. Para hacer esto, primero debemos escribir expresiones para el calor transferido en términos de las temperaturas tanto del agua como del aire en sus estados inicial y final.

Un cambio de entropía infinitesimal \(dS\) de un sistema durante un proceso termodinámico se define como

\begin{equation}
\label{EQ:ds}
dS = \frac{dQ_{\text{rev}}}{T},
\end{equation}

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donde \(T\) es la temperatura del sistema y \(dQ_{\text{rev} }\) es una cantidad muy pequeña de calor absorbida por el sistema durante un proceso reversible. Debemos tener en cuenta que esto no significa que el proceso real que estamos considerando tenga que ser reversible para que podamos calcular el cambio de entropía. Dado que la entropía es una variable de estado, el cambio de entropía entre un estado inicial y final será el mismo independientemente del proceso mediante el cual se produzca el cambio. Por lo tanto, podemos definir un proceso que facilite los cálculos siempre que tenga los mismos estados inicial y final en comparación con el proceso real que estamos considerando.

El cambio total en la entropía \(\Delta S\) de un proceso se puede encontrar integrando la ecuación. \eqref{EQ:ds} entre los estados inicial y final. Para realizar la integración, primero debemos escribir una expresión para \(dQ_{rev} \) en términos de las variables de estado del sistema.

a) Dado que el agua permanece en el mismo recipiente, la presión atmosférica e hidrostática será la misma durante todo el proceso. En otras palabras, este proceso ocurre bajo presión constante. Para este tipo de proceso, la relación entre una pequeña cantidad de calor absorbida por el sistema \(dQ\) y el cambio de temperatura que produce está dada por

\begin{equation}
\label{EQ:dq_1}
dQ = C_p dT,
\end{equation}

donde \(C_p\) es la capacidad calorífica del material a presión constante. Por definición, podemos escribir la capacidad calorífica como

\begin{equation}
C_p = m c_p,
\end{equation}

donde \(m\) es la masa de la sustancia y \(c_p\) es su capacidad calorífica específica a una presión constante del material. Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:dq_1} obtenemos

\begin{equation}
dQ = m c_p dT.
\end{equation}

En este caso particular, el calor absorbido por el agua \(dQ_w\) en el jacuzzi está relacionado con su cambio de temperatura por

\begin{equation}
\label{EQ:dq_2}
dQ_w = m_w c_{p,w} dT,
\end{equation}

donde \(m_w\) es la masa del agua en el jacuzzi y \(c_{p,w}\) es su capacidad calorífica específica a presión constante.

Como se nos da el volumen de agua, podemos escribir la masa en términos de volumen usando la densidad del agua \(\rho_w\), que viene dada por

\begin{equation}
\rho_w = \frac{m_w}{V_w},
\end{equation}

donde \(V_w\) es el volumen de agua en consideración. Multiplicando por \(V_w\) da como resultado

\begin{equation}
m_w = \rho_w V_w.
\end{equation}

Por tanto, si insertamos esta ecuación en la ecuación. \eqref{EQ:dq_2} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:dq_3}
dQ_w = \rho_w V_w c_{p,w} dT.
\end{equation}

Para calcular la entropía, consideremos un proceso alternativo en el que el agua sufre el mismo cambio de temperatura ocurriendo a una presión constante, pero lo hace muy lentamente para que el proceso sea reversible. En este caso, la expresión que relaciona el calor absorbido por el agua y la temperatura es la misma que la ecuación \eqref{EQ:dq_3} , pero como este proceso es reversible, podemos usarlo para calcular el cambio en la entropía. Por lo tanto, estableciendo \(dQ_{\text{rev}} = dQ_w\) en la ecuación. \eqref{EQ:ds} , encontramos que el cambio infinitesimal en la entropía del agua \(dS_w\) viene dado por

\begin{equation}
dS_w = \frac{dQ_w}{T},
\end{equation}

y sustituyendo en la ecuación \eqref{EQ:dq_3} se cumple que

\begin{equation}
dS_w = \rho_w V_w c_{p,w} \frac{dT}{T}.
\end{equation}

Debemos integrar esta expresión entre las temperaturas inicial y final del agua \(T_i\) y \(T_f\) para encontrar su cambio total de la entropía \(\Delta S_w\). Esto se puede escribir como

\begin{equation}
\Delta S_w = \int_{T_i}^{T_f} dS_w = \int_{T_i}^{T_f} \rho_w V_w c_{p,w} \frac{dT}{T} .
\end{equation}

Si sacamos los términos constantes de la integral, obtenemos

\begin{equation}
\Delta S_w = \rho_w V_w c_{p,w} \int_{T_i}^{T_f} \frac{dT}{T},
\end{equation}

y resolviendo la integral, tenemos que

\begin{equation}
\Delta S_w = \rho_w V_w c_{p,w} \ \ln \left(T\right)\Big|_{T_i}^{T_f} = \rho_w V_w c_{p,w} \left(\ln \left(T_f\right) – \ \ln \left(T_i\right)\right).
= \rho_w V_w c_{p,w} \ \ln \left(\frac{T_f}{T_i}\right).
\end{equation}

Después de insertar valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:a}
\Delta S_w = \left(1 \ \frac{\text{kg}}{L}\right) \left(3000 \ L\right) \left(4182\frac{L}{\text{kg}\ \text{K}}\right) \ \ln \left(\frac{ \left(5 + 273.15\right)\ \text{K} }{ \left(40 + 273.15\right)\text{K} }\right)
= -1.49 \times 10^6 \ \frac{\text{J}}{\text{K}}.
\end{equation}

b) Ahora, tenemos que encontrar el cambio en la entropía del aire. La masa de aire circundante es tan grande que el cambio de temperatura producido por el calor que absorbe del jacuzzi es insignificante. Por tanto, si dejamos \(T = T_ {\text{air}}\) en la ecuación. \eqref{EQ:ds} , obtenemos

\begin{equation}
dS_{\text{air}} = \frac{dQ_{\text{rev}}}{T_{\text{air}}},
\end{equation}

y por lo tanto,

\begin{equation}
\Delta S_{\text{air}} = \int dS = \int \frac{dQ_{\text{rev}}}{T_{\text{air}}} = \frac{1}{T_{\text{air}}} \int dQ_{\text{rev}}.
\end{equation}

Aquí utilizamos el hecho de que la temperatura del aire permanece esencialmente constante, ya que absorbe el calor del jacuzzi para sacar \(T _ {\ text{air} }\) de la integral. Ahora, la integral de \(dQ_{\text{rev}}\) es simplemente el calor total absorbido por el aire \(Q_{\text{rev} }\) durante un proceso reversible, es decir

\begin{equation}
\label{EQ:DS_air}
\Delta S_{\text{air}} = \frac{1}{T_{\text{air}}} Q_{\text{rev}}.
\end{equation}

El calor absorbido por el aire es el mismo que el calor liberado por el agua. Podemos escribir esto como

\begin{equation}
\label{EQ:Qair}
Q_{\text{air}} = – Q_w,
\end{equation}

y podemos calcular \(Q_w\) a partir de la ecuación. \eqref{EQ:dq_3} como

\begin{equation}
Q_w = \int_{T_i}^{T_f} dQ_w = \int_{T_i}^{T_f} \rho_w V_w c_{p,w} dT = \rho_w V_w c_{p,w} \int_{T_i}^{T_f} dT = \rho_w V_w c_{p,w} T\Big|_{T_i}^{T_f} ,
\end{equation}

que es equivalente a

\begin{equation}
Q_w = \rho_w V_w c_{p,w}(T_f – T_i).
\end{equation}

donde \(T_i\) y \(T_f\) son las temperaturas inicial y final del agua. La temperatura final del agua es la misma que la temperatura del aire. Por eso,

\begin{equation}
Q_w = \rho_w V_w c_{p,w}(T_{\text{air}} – T_i),
\end{equation}

e insertando esta ecuación en la ecuación. \eqref{EQ:Qair} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:Qair2}
Q_{\text{air}} = – \rho_w V_w c_{p,w}(T_{\text{air}} – T_i).
\end{equation}

Ahora, para calcular la entropía. Consideremos un proceso reversible en el que el aire absorbe una cantidad de calor \(Q_{\text{air}}\) sin cambiar su temperatura pero lo hace muy lentamente para que el proceso sea reversible. Este proceso hipotético tiene los mismos estados inicial y final que el proceso real, por lo que podemos usarlo para calcular la entropía del proceso real. La cantidad de calor absorbida por el aire durante este proceso es \(Q_{\text{rev}} = Q_{\text{air}}\). Por lo tanto, sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:DS_air} obtenemos

\begin{equation}
\Delta S_{\text{air}} = \frac{1}{T_{\text{air}}} Q_{\text{air}},
\end{equation}

y si insertamos la ecuación \eqref{EQ:Qair2} en esta ecuación, obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:b}
\Delta S_{\text{air}} = \frac{1}{T_{\text{air}}} ( – \rho_w V_w c_{p,w}(T_{\text{air}} – T_i) )
= \rho_w V_w c_{p,w} \frac{T_i – T_{\text{air}}}{T_{\text{air}}}.
\end{equation}

Finalmente, después de insertar valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\Delta S_{\text{air}} = \left(1 \ \frac{\text{K}g}{L}\right) \left(3000 \ L\right) \left(4182 \ \frac{L}{\text{kg}\ \text{K}}\right) \left( \frac{\left(40 – 5\right)\ \text{K}} { \left(5 + 273.15\right) \ \text{K} } \right),
\end{equation}

que es lo mismo que

\begin{equation}
\Delta S_{\text{air}} = 1.579 \ \times 10^6 \ \frac{\text{J}}{\text{K}}.
\end{equation}

c) El cambio de entropía total \(\Delta S_T\) es simplemente el cambio de entropía del agua más el cambio de entropía del aire, es decir

\begin{equation}
\Delta S_T = \Delta S_{w} + \Delta S_{\text{air}},
\end{equation}

y sustituyendo las ecuaciones. \eqref{EQ:a} y \eqref{EQ:b} , obtenemos

\begin{equation}
\Delta S_T = -1.49 \times 10^6 \ \frac{\text{J}}{\text{K}} + 1.579 \times 10^6 \ \frac{\text{J}}{\text{K}}
= 8.9 \times 10^4 \ \frac{\text{J}}{\text{K}}.
\end{equation}

La entropía total es positiva, como podemos esperar de la Segunda Ley de la termodinámica, que establece que la entropía total nunca disminuye durante un proceso.

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