Un niño lanza una bola de arcilla de 50 g, muy pegajosa, hacia una figura de superhéroe (200 g) que se encuentra a 30 cm del borde de una mesa. Si el coeficiente de fricción entre la figura y la mesa es 0.3, calcule cuál debe ser la rapidez inicial mínima de la arcilla para hacer que el juguete se caiga de la mesa.
Necesita aplicar tanto la Conservación del Momento como el Teorema Trabajo-Energía. La segunda ley de Newton también puede ser útil para despejar las fuerzas.
La conservación del momento \(\vec{p} _i = \vec{p} _f \) en este caso da:
\begin{equation*}
m_c v_0 = (m_c+m_f) v_i,
\end{equation*}
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donde podemos despejar \(v_i \).
La segunda ley de Newton en la dirección \({y-} \) se puede escribir como:
\begin{equation*}
N – (m_c + m_f)g = 0.
\end{equation*}
Basándonos en el teorema trabajo-energía (\(W_{net} = \Delta K \)), podemos escribir:
\begin{equation*}
W_{net} = 0 – \frac{1}{2} (m_c + m_f) v_i^2,
\end{equation*}
donde \(W_{net} = -f_k \) y \(f_k = -\mu_k N\). Sustituyendo la fuerza normal y \(v_i \) en la última ecuación, y despejando \(v_0 \), obtenemos:
\begin{equation*}
v_0=\frac{m_c+m_f}{m_c}\sqrt{2\mu_k gd},
\end{equation*}
o
\begin{equation*}
v_{0_{min}} \approx 6.64 \, \text{m/s}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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Tenemos que averiguar cuál debe ser la rapidez inicial mínima de la bola de arcilla para que el juguete se caiga de la mesa. Resolveremos el problema en dos pasos:
- Asumiremos que la bola de arcilla golpea la figura con rapidez \(v_0 \) y, usando la conservación del momento lineal, podremos encontrar la rapidez final a la que la arcilla y la figura se mueven juntas \(v_i \).
- Usaremos la rapidez \(v_i \) como la rapidez inicial y asumiremos que la arcilla y la figura se mueven una distancia \(d \) juntas a través de la mesa antes de detenerse. Para esto utilizaremos el teorema de trabajo-energía.
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Comencemos escribiendo la ley de conservación del momento lineal para la colisión:
\begin{equation}
\label{cons}
\vec{p}_i=\vec{p}_f,
\end{equation}
donde \(\vec{p} _i \) es el momento lineal de la arcilla y la figurilla antes de su colisión y \(\vec{p}_f \) será el momento lineal de la arcilla y la figurilla justo después de la colisión. Debido a que todo el movimiento ocurre a lo largo de un eje, digamos X, escribimos el momento antes de la colisión como
\begin{equation}
\vec{p}_i=m_cv_0\,\hat{\textbf{i}}+m_fv_f\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
donde \(m_c \) y \(m_f \) son las masas de la arcilla y la figurilla respectivamente, y \(v_0 \) y \(v_f \) sus velocidades. Debido a que la figura no se mueve antes de la colisión, entonces \(v_f = 0 \, \text{m/s} \) y la expresión del momento lineal antes de la colisión se convierte en (ver figura 1).
\begin{equation}
\label{pi}
\vec{p}_i=m_cv_0\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Figura 1: Colocamos el sistema de coordenadas en la mesa. Momentos antes de la colisión, la pieza de arcilla se mueve a lo largo del eje X positivo con una velocidad \(\vec{v}_0 \) mientras la figura está estática.
La expresión para el impulso justo después de la colisión, considerando que ahora la arcilla y la figurilla se mueven como un todo (ver figura 2), es
\begin{equation}
\label{pf}
\vec{p}_f=(m_c+m_f)v_i\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Figura 2: Inmediatamente después de la colisión, la figura y la arcilla se mueven juntas con la misma velocidad \(\vec{v} _{f} \) a lo largo del eje X positivo.
Usando las expresiones para el momento antes y después de la colisión dadas por las ecuaciones \eqref{pi} y \eqref{pf} en la ecuación \eqref{cons}, obtenemos
\begin{equation}
m_cv_0\,\hat{\textbf{i}}=(m_c+m_f)v_i\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
que después de eliminar la notación vectorial y enfocándonos en las magnitudes se convierte en
\begin{equation}
m_cv_0=(m_c+m_f)v_i.
\end{equation}
Podemos despejar \(v_i \), la rapidez del sistema arcilla-figura después de la colisión, para obtener
\begin{equation}
\label{vi}
v_i=\frac{m_c v_0}{(m_c+m_f)}.
\end{equation}
Ahora pasaremos al paso dos y expresaremos una relación entre la distancia recorrida a lo largo de la mesa con fricción \(d \) antes de que el sistema se detenga y la rapidez inicial del sistema \(v_i \). Para hacer esto, escribimos el teorema de trabajo-energía
\begin{equation}
\label{wet}
K_f-K_i=W_{\text{net}},
\end{equation}
donde \(K_f \) y \(K_i \) son la energía cinética final e inicial del sistema y \(W_{\text{net} } \) es el trabajo total realizado sobre el sistema desde el punto inicial hasta el final. Nuestro punto inicial será el sistema que se mueve con rapidez \(v_i \). Entonces \(K_i \) será
\begin{equation}
K_i=\frac{1}{2}(m_c+m_f)v_i^2.
\end{equation}
El punto final será cuando la arcilla y la figurilla se detuvieron, por lo que la rapidez final es cero y la energía cinética en este punto final también es cero.
\begin{equation}
K_f=0.
\end{equation}
Para encontrar el trabajo realizado sobre el sistema, identifiquemos las fuerzas ejercidas sobre él, como se muestra en la figura 3.
Figura 3: Diagrama de cuerpo libre para el sistema arcilla-figura. Las fuerzas mostradas son la fuerza de contacto \(\vec{N} \), la fuerza de fricción \(\vec{f}_k \) y el peso \(\vec{W} \).
A partir del diagrama de cuerpo libre, identificamos el peso \(\vec{W} = – (m_c + m_f) g \, \hat {\textbf{j} } \), la fuerza de contacto \(N \, \hat {\textbf{i} } \), y la fricción dinámica \(- f_k \, \hat {\textbf{i} } \). Podemos calcular el trabajo total realizando el producto escalar entre la fuerza neta (la suma de todas las fuerzas) y el vector de desplazamiento, que es \(d \, \hat {\textbf{i} } \), a saber
\begin{equation}
W_{\text{net}}=(-(m_c+m_f)g\,\hat{\textbf{j}}+N\,\hat{\textbf{j}}-f_k\,\hat{\textbf{i}})\cdot(d\,\hat{\textbf{i}}),
\end{equation}
que después de usar la ley distributiva se convierte en
\begin{equation}
W_{\text{net}}=-(m_c+m_f)gd\,\hat{\textbf{j}}\cdot\,\hat{\textbf{i}}+Nd\,\hat{\textbf{j}}\cdot\,\hat{\textbf{i}}-f_kd\,\hat{\textbf{i}}\cdot \,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
y se simplifica a
\begin{equation}
\label{netw}
W_{\text{net}}=-f_kd,
\end{equation}
donde hemos utilizado el hecho de que \(\hat{\textbf{j}}\cdot\hat{\textbf{i}}=0\) y \(\hat{\textbf{i}}\cdot\hat{\textbf{i}}=1\).
Para calcular la fricción dinámica, podemos usar la expresión
\begin{equation}
\label{fk}
f_k=\mu_kN,
\end{equation}
donde \(\mu_k = 0.3 \) es el coeficiente de fricción dinámica Para expresar \(f_k \) en términos de las variables conocidas, usamos la segunda ley de Newton en el eje Y para escribir
\begin{equation}
N\,\hat{\textbf{j}}-(m_c+m_f)g\,\hat{\textbf{j}}=0\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Dejando atrás la notación vectorial y enfocándonos en las magnitudes, podemos expresar la ecuación anterior como
\begin{equation}
N-(m_c+m_f)g=0,
\end{equation}
donde podemos despejar la fuerza de contacto para obtener
\begin{equation}
N=(m_c+m_f)g.
\end{equation}
Por lo tanto, usando esta expresión para la fuerza de contacto en la ecuación \eqref{fk}, obtenemos
\begin{equation}
f_k=\mu_k(m_c+m_f)g.
\end{equation}
La expresión para el trabajo total es entonces (siguiendo la ecuación \eqref{netw})
\begin{equation}
W_{\text{net}}=-(\mu_k(m_c+m_f)g)d.
\end{equation}
Poniendo todo junto en el teorema de trabajo-energía \eqref{wet}, obtenemos
\begin{equation}
0-\frac{1}{2}(m_c+m_f)v_i^2=-\mu_k(m_c+m_f)gd.
\end{equation}
Podemos simplificar la ecuación anterior simplificando la suma de masas y el signo menos para obtener
\begin{equation}
\frac{1}{2}v_i^2=\mu_kgd.
\end{equation}
Usando la expresión para \(v_i \) que encontramos en el paso 1 de la solución, dada por la ecuación \eqref{vi}, en la ecuación anterior obtenemos
\begin{equation}
\frac{1}{2}\left(\frac{m_cv_0}{(m_c+m_f)}\right)^2=\mu_k gd.
\end{equation}
Ahora podemos despejar \(v_0 \) de la siguiente manera
\begin{equation}
\left(\frac{m_cv_0}{m_c+m_f}\right)^2=2\mu_kgd,
\end{equation}
y sacando la raíz cuadrada en ambos lados
\begin{equation}
\frac{m_cv_0}{m_c+m_f}=\sqrt{2\mu_k gd},
\end{equation}
por lo tanto
\begin{equation}
v_0=\frac{m_c+m_f}{m_c}\sqrt{2\mu_k gd}.
\end{equation}
Entonces, hemos encontrado una relación entre la rapidez a la que la arcilla choca con la figura \(v_0 \) y la distancia \(d \) que recorre todo el sistema a través de una superficie plana antes de detenerse. Observe que, como se esperaba, a medida que \(d \) aumenta, también lo hace la rapidez necesaria \(v_0 \). En particular, estamos interesados en la rapidez mínima que se necesita para golpear la arcilla y hacer caer la figurilla de la mesa, por lo que usaremos \(d = 30 \, \text{cm} = 0.3 \, \text{m} \) para encontrar la rapidez necesaria \(v_0 \). Explícitamente, usando los valores numéricos
\begin{equation}
v_{0\,\text{min}}=\frac{50\,\text{g}+200\,\text{g}}{50\,\text{g}}\sqrt{2(0.3)(9.8\,\text{m/s}^2)(0.3\,\text{m})},
\end{equation}
\begin{equation}
v_{0\,\text{min}}\approx 6.64\,\text{m/s}.
\end{equation}
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