Un gran bloque de hielo, a una temperatura de \(0 \, ^ {\circ} \text{C} \), se desliza por una colina de 15 m de altura que tiene una pendiente \(30 ^ {\circ} \). Si el coeficiente de fricción cinética entre el cubo de hielo y la superficie de la colina es 0.3, y todo el trabajo realizado por fricción se disipa como energía térmica, calcule la fracción de hielo que se derrite.
Encuentre el trabajo realizado por la fuerza debido a la fricción con los valores dados y relacione el trabajo con la energía térmica requerida para derretir el hielo. Esto le ayudará a encontrar la fracción de hielo derretido.
El calor para el hielo derretido es:
\begin{equation*}
Q = m_m L_f,
\end{equation*}
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y el trabajo realizado por la fuerza de fricción es:
\begin{equation*}
W_f = -f x.
\end{equation*}
La distancia y el ángulo se pueden relacionar como:
\begin{equation*}
\sin \alpha = \frac{h}{x}.
\end{equation*}
Por la segunda ley de Newton con un eje rotado obtenemos:
\begin{equation*}
N – mg \cos\alpha = 0,
\end{equation*}
y dado que la fricción es \(f = \mu N\), el trabajo se puede escribir reemplazando todas las variables encontradas. Entonces:
\begin{equation*}
W_f = – \mu mg h \cot\alpha.
\end{equation*}
Por la energía disipada como calor \(|W_f| = Q \). Entonces, dividiendo por la masa \(m\) obtenemos:
\begin{equation*}
\frac{m_m}{m}= \frac{\mu g h \cot\alpha}{L_f},
\end{equation*}
o:
\begin{equation*}
\frac{m_m}{m} = 2.3 \times 10^{-4}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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Podemos obtener una expresión para la masa de hielo que se derrite relacionando el calor absorbido por el bloque de hielo con su calor latente de fusión. El calor absorbido por el hielo es igual al trabajo realizado por la fuerza de fricción. Para encontrar la fuerza de fricción, debemos aplicar la segunda ley de Newton en el bloque de hielo.
El bloque de hielo está en \(0\, ^{\circ}\text{C}\), que es el punto de fusión del agua. A esta temperatura, el calor absorbido por el agua se utilizará para pasar a la fase líquida. La temperatura no aumentará hasta que todo el hielo se haya derretido. La masa de hielo que se derrite \(m_m\) se puede relacionar con el calor absorbido por el hielo \(Q\) usando la siguiente ecuación:
\begin{equation}
\label{EQ:latent}
Q = m_m L_f,
\end{equation}
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donde \(L_f\) es el calor latente de fusión del agua, que representa cuánto calor se requiere para convertir una determinada masa de hielo en agua líquida.
Ahora, se nos dice que todo el trabajo realizado por la fuerza de fricción, \(W_f\), se disipa en forma de calor, que es absorbido por el cubo de hielo. Podemos escribir esto como
\begin{equation}
|W_f| = Q,
\end{equation}
y sustituyendo en la ecuación \eqref{EQ:latent} , obtenemos
\begin{equation}
\label{EQ:latent2}
|W_f| = m_m L_f.
\end{equation}
Ahora deberíamos encontrar una expresión para \(W_f\). Recuerde que el trabajo \(W_F\) realizado por una fuerza \(\vec{F}\) sobre un objeto mientras se mueve una distancia \(x\) en línea recta está dado por
\begin{equation}
W_F = F x \cos \theta,
\end{equation}
donde theta es el ángulo entre \(\vec{F}\) y el vector de desplazamiento \(\vec{x}\) (es decir, el vector que apunta desde el punto inicial hacia el punto final del desplazamiento cuya magnitud es igual a la distancia recorrida por el objeto). En nuestro caso particular, podemos escribir esta ecuación como
\begin{equation}
W_f = f x \cos \theta,
\end{equation}
donde \(f\) es la magnitud de la fuerza de fricción. La Figura 1 muestra las direcciones de \(\vec{f} \) y \(\vec{x} \). Podemos notar que son antiparalelos. Por lo tanto, \( \theta = 180 ^{\circ}\), y \(\cos \theta = -1\). Por lo tanto,
\begin{equation}
\label{EQ:wf}
W_f = f x (-1) = -f x.
\end{equation}
Figura 1: Colocamos nuestro sistema de coordenadas en la parte inferior de la colina con el eje X paralelo a la inclinación de la colina. La altura \(h\) del bloque y la distancia recorrida a lo largo de la colina \(\vec{x}\) también se muestran. La fuerza de fricción \(\vec{f}\) es paralela al eje X a lo largo de su dirección negativa.
Además, observe que en la figura 1 podemos escribir la distancia \(x\) (que no conocemos) en términos de \(h\) y la pendiente \(\alpha\) como
\begin{equation}
\sin \alpha = \frac{h}{x}.
\end{equation}
Si multiplicamos por \(x\), obtenemos
\begin{equation}
x \sin \alpha = h,
\end{equation}
y si dividimos por \(\sin \alpha\), obtenemos
\begin{equation}
x = \frac{h}{\sin \alpha}.
\end{equation}
Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:wf} , obtenemos
\begin{equation}
\label{EQ:wf2}
W_f = \frac{f h }{\sin \alpha}.
\end{equation}
Ahora, para encontrar la magnitud de la fuerza de fricción \(f\), necesitamos usar la segunda ley de Newton. El diagrama de fuerza del cubo de hielo se muestra en la figura 2.
Figura 2: Diagrama de cuerpo libre para el bloque de hielo. Las tres fuerzas ejercidas sobre el bloque: la fuerza normal \(\vec{N}\), la fricción \(\vec{f}\) y el peso \(\vec{W}\).
En la figura 2, \(\vec{f} \) es la fricción, \(\vec{N} \) es la fuerza normal ejercida por la superficie sobre el bloque, y \(\vec{W} =m\vec{g} \) es el peso del bloque de hielo. La fuerza de fricción está relacionada con la fuerza normal como
\begin{equation}
\vec{f} = \mu \vec{N},
\end{equation}
donde \(\mu\) es el coeficiente cinético de fricción. Centrándonos solo en las magnitudes, obtenemos
\begin{equation}
\label{EQ:f}
f = \mu N.
\end{equation}
Se nos da \(\mu\), por lo que deberíamos encontrar \(N\). Según la figura 2, \(N\) está en el eje \(y\) . Podemos escribir la segunda ley de Newton a lo largo de este eje como
\begin{equation}
\label{EQ:n2l}
N – mg_y = ma_y,
\end{equation}
donde \(m\) es la masa del cubo de hielo, \(mg_y\) representa el componente del peso a lo largo del eje \(y\) , y \(a_y\) representa la aceleración en la dirección \(y\) . El bloque solo se mueve cuesta abajo a lo largo del eje \(x\) . Por lo tanto,
\begin{equation}
a_y = 0.
\end{equation}
Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:n2l} , obtenemos
\begin{equation}
N – mg_y = 0.
\end{equation}
Ahora, observe en la figura 2 que podemos escribir \(mg_y\) como
\begin{equation}
mg_y = mg \cos\alpha.
\end{equation}
Por eso,
\begin{equation}
N – mg \cos\alpha = 0,
\end{equation}
o, de manera equivalente
\begin{equation}
N = mg\cos\alpha.
\end{equation}
Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:f} obtenemos
\begin{equation}
f = \mu mg \cos\alpha.
\end{equation}
Ahora tenemos una expresión para la fuerza de fricción en términos de variables conocidas. Si lo sustituimos en la ecuación. \eqref{EQ:wf2} , encontramos que el trabajo realizado por la fuerza de fricción está dado por
\begin{equation}
W_f =\frac{- (\mu mg \cos\alpha) h}{\sin\alpha}
= – \mu mg h \cot\alpha.
\end{equation}
Sustituyendo esta expresión en la ecuación. \eqref{EQ:latent2} se cumple que
\begin{equation}
|-\mu m g h \cot\alpha| = m_m L_f,
\end{equation}
o, de manera equivalente
\begin{equation}
m \mu g h \cot\alpha = m_m L_f.
\end{equation}
Si dividimos por \(m L_f\), obtenemos
\begin{equation}
\frac{m_m}{m}= \frac{\mu g h \cot\alpha}{L_f},
\end{equation}
que es la fracción de masa de hielo que se derritió a medida que se movía cuesta abajo. Insertando valores numéricos, obtenemos
\begin{equation}
\frac{m_m}{m} = \frac{(0.3)( 9.8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}) (15 \ \text{m}) \cot(30 ^{\circ})}{333500\ \frac{\text{J}}{\text{kg}}}
= 2.3 \times 10^{-4}.
\end{equation}
Solo el \(0.023\%\) del hielo se derrite en estas condiciones.
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