¡Alambre infinitamente cargado!

a) Utilice la ley de Gauss y exprese la carga en términos de la densidad y la distancia. Dividiendo ambos campos eléctricos se puede obtener la respuesta.

b) Misma pista que en (a).

a) La ley de Gauss establece:

\begin{equation*}
\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0},
\end{equation*}

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]

donde \(Q_{\text{enc} } = \lambda L \), y la superficie gaussiana, al ser un cilindro, tiene un área \(A = 2 \pi r L \). Entonces, despejando \(E \) obtenemos:

\begin{equation*}
E = \frac{ \lambda }{2 \pi r \epsilon_0}.
\end{equation*}

Al dividir el campo eléctrico como una función de \(r \) y \(2r \), obtenemos:

\begin{equation*}
\frac{E(r)}{E(2r)}=2,
\end{equation*}

entonces:

\begin{equation*}
E(2r) = \frac{1}{2} E(r),
\end{equation*}

que, con valores numéricos, nos da:

\begin{equation*}
E(2r) = 60 \, \text{N/C}.
\end{equation*}

b) Al dividir el campo eléctrico como una función de \(r \) y \(r / 2 \), obtenemos:

\begin{equation*}
\frac{E(r)}{E(r/2)}=\frac{1}{2},
\end{equation*}

entonces:

\begin{equation*}
E(r/2) = 2E(r),
\end{equation*}

que, con valores numéricos, nos da:

\begin{equation*}
E(r/2) = 240 \, \text{N/C}.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

[/mepr-show]

a) Primero, debemos encontrar el campo eléctrico generado por el alambre infinito a una distancia arbitraria \(r \). Una forma fácil de calcular esto es usar la simetría del campo en la dirección radial y usar una superficie gaussiana. La superficie gaussiana elegida para esta tarea es cilíndrica, con radio \(r \) y longitud \(L \), como se muestra en la figura 1.

Figura 1: Superficie gaussiana cilíndrica (gris), de radio \(r \) y longitud \(L \), que encierra un cable cargado (negro) que produce un campo eléctrico en la dirección radial \(\vec{E} \).

[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”] En cada punto de la superficie gaussiana, el campo eléctrico \(\vec{E} \) producido por el alambre es perpendicular a la superficie del cilindro, como se ve en la figura 2.

Figura 2: Vista transversal del cable cargado (punto negro) encerrado por la superficie gaussiana (circunferencia). En esta figura, está claro que el campo eléctrico \(\vec{E} \) generado por el cable es radial. El diferencial de área superficial \(\vec{dA} \), que es perpendicular a la superficie gaussiana en todos los puntos, también se muestra.

Entonces podemos escribir la ley de Gauss como

\begin{equation}
\label{gausslaw}
\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_\text{enc}}{\epsilon_0},
\end{equation}

donde la integral se toma sobre la superficie cerrada \(S \), \(Q _{\text{enc} } \) es la carga encerrada del cable y \(\epsilon_0 \) es una constante llamada permitividad del espacio libre. Dado que el campo eléctrico está dirigido en la dirección radial, podemos escribirlo en términos de su magnitud y el vector unitario radial \(\hat {\textbf{r} }\) como

\begin{equation}
\label{efieldcyl}
\vec{E}=E\,\hat{\textbf{r}}.
\end{equation}

El cilindro tiene tres superficies, dos circulares y la que envuelve el cable, como se ve en la figura 3.

Figura 3: Superficie cilíndrica gaussiana dividida en tres superficies diferentes. Las tapas del cilindro contienen \(d \vec{A}_1 \) y \(d\vec{A}_2 \) y la superficie que rodea el cable contiene \(d \vec{A}_3 \).

Entonces, el vector \(d \vec{A} \) se puede descomponer como

\begin{equation}
\label{dacyl}
d\vec{A}=-dA_{1\circ}\,\hat{\textbf{i}}+dA_{2\circ}\,\hat{\textbf{i}}+dA_{3}\,\hat{\textbf{r}},
\end{equation}

donde \(dA_{1 \circ} \) es el diferencial de área circular del lado izquierdo del cilindro, \(dA_{2 \circ} \) es el diferencial de área circular del lado derecho del cilindro, y \(dA_{3} \) es el diferencial de área de la superficie que gira alrededor del cable. Calculando el producto escalar \(\vec{E} \cdot d \vec{A} \) explícitamente, obtenemos, utilizando las ecuaciones \eqref{efieldcyl} y \eqref{dacyl}

\begin{equation}
\vec{E}\cdot d\vec{A}=(E\,\hat{\textbf{r>\cdot(-dA_{1\circ}\,\hat{\textbf{i}}+dA_{2\circ}\,\hat{\textbf{i}}+dA_{3}\,\hat{\textbf{r>,
\end{equation}

usando la ley distributiva

\begin{equation}
\label{efieldsim}
\vec{E}\cdot d\vec{A}=-EdA_{1\circ}\,\hat{\textbf{r}}\cdot\hat{\textbf{i}}+EdA_{2\circ}\,\hat{\textbf{r}}\cdot\hat{\textbf{i}}+EdA_{3}\,\hat{\textbf{r}}\cdot\hat{\textbf{r}}.
\end{equation}

La expresión en la ecuación \eqref{efieldsim} se puede simplificar aún más si usamos el hecho de que \(\hat {\textbf{r} } \) y \(\hat {\textbf{i} } \) son perpendiculares; así \(\hat {\textbf{r} } \cdot \hat {\textbf{i}} = 0 \), es decir,

\begin{equation}
\label{efieldsim3}
\vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA_{3}\,\hat{\textbf{r}}\cdot\hat{\textbf{r}}=EdA_{3},
\end{equation}

donde en la última línea usamos el hecho de que \(\hat {\textbf{r} } \) es unitario, entonces \(\hat {\textbf{r} } \cdot \hat {\textbf{r}} = 1 \).

Volviendo a la ecuación \eqref{gausslaw} y usando el resultado de la ecuación \eqref{efieldsim3}, obtenemos

\begin{equation}
\label{gausslaw2}
\int_S EdA_{3}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
\end{equation}

Podemos extraer el campo eléctrico de la integral en la ecuación \eqref{gausslaw2} porque, debido a la simetría, su magnitud es constante a lo largo de la superficie \(dA_3 \); entonces, tenemos que

\begin{equation}
\label{gausslaw3}
E\int dA_3=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
\end{equation}

El resultado de la integral es el área de la superficie del cilindro que rodea el alambre, esta área en términos de \(r \) y \(L \) es

\begin{equation}
\label{ecarea}
\int dA_3=2\pi r L.
\end{equation}

Usando el resultado dado en la ecuación \eqref{ecarea} en \eqref{gausslaw3}, obtenemos

\begin{equation}
\label{gausslaw4}
E2\pi r L=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
\end{equation}

Despejando la magnitud del campo eléctrico, obtenemos

\begin{equation}
\label{gausslaw5}
E=\frac{Q_{\text{enc}}}{2\pi\epsilon_0 r L}.
\end{equation}

Observe que a medida que \(L \) aumenta, también aumenta la carga encerrada por la superficie \(Q_{\text{enc} } \). Es conveniente escribir el campo eléctrico en términos de la densidad de carga eléctrica lineal, denotada por \(\lambda \) y definida como

\begin{equation}
\lambda=\frac{dq}{dx}.
\end{equation}

En nuestro caso particular, esta densidad de carga lineal es constante, por lo que se puede calcular como

\begin{equation}
\label{linchargeden}
\lambda=\frac{Q_{\text{enc}}}{L}.
\end{equation}

Usando el resultado de la ecuación \eqref{linchargeden} en la ecuación \eqref{gausslaw5}, obtenemos la expresión general

\begin{equation}
\label{efieldwire}
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}.
\end{equation}

Ahora, para resolver la pregunta planteada originalmente en el enunciado, comparemos el campo eléctrico \(E \) en \(r \) versus el campo en \(2r \) calculando la razón \(\frac {E (r)} { E (2r)} \) explícitamente con la ecuación \eqref{efieldwire}

\begin{equation}
\frac{E(r)}{E(2r)}=\frac{\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}}{\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 2r}}.
\end{equation}

Observe que las constantes \(\lambda \) y \(2 \pi \epsilon_0 \) se pueden cancelar usando las reglas de las fracciones; obtenemos,

\begin{equation}
\frac{E(r)}{E(2r)}=\frac{\lambda 2\pi \epsilon_0}{\lambda 2 \pi \epsilon_0}\frac{2r}{r}= 2.
\end{equation}

Entonces, podemos deducir que

\begin{equation}
E(2r)=\frac{1}{2}E(r),
\end{equation}

que numéricamente es

\begin{equation}
E(2r)=\frac{1}{2}120\,\text{N/C}=60\,\text{N/C}.
\end{equation}

b) Ahora, si queremos calcular el campo eléctrico generado por el alambre infinito a la mitad de la distancia, podemos repetir el mismo análisis que antes para evaluar la razón \(\frac{E(r/2)}{E(r)}\) explícitamente con la ayuda de la ecuación \eqref{efieldwire} para obtener

\begin{equation}
\label{fracefield}
\frac{E(r/2)}{E(r)}=\frac{\frac{\lambda}{\pi \epsilon_0 r}}{\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}}.
\end{equation}

Usando las reglas de las fracciones, obtenemos de la ecuación \eqref{fracefield}

\begin{equation}
\frac{E(r/2)}{E(r)}=\frac{\lambda \pi \epsilon_0}{\lambda \pi\epsilon_0}\frac{2r}{r}= 2.
\end{equation}

Entonces, es fácil ver que

\begin{equation}
E(r/2)=2E(r),
\end{equation}

que, numéricamente, es

\begin{equation}
E(r/2)=2(120\,\text{N/C})=240\,\text{N/C}.
\end{equation}

[/mepr-show]

You need to be registered and logged in to take this quiz. Log in or Register