Una pequeña masa de 6 g cuelga del extremo de un cable de longitud L que tiene una masa despreciable. El sistema se encuentra en una región con un campo eléctrico de magnitud 550 N/C, como se muestra en la figura. La masa cuelga en un ángulo de 20 \(^ \circ \) con respecto al eje vertical \({y-} \)?
a) ¿Cuál es la carga de la masa colgante, suponiendo que la masa está en equilibrio?
b) Si el campo se duplica, ¿cuál debería ser el nuevo ángulo para que la masa permanezca en equilibrio?
a) Utilice la segunda ley de Newton para relacionar las variables y obtener la carga desconocida.
b) Con las ecuaciones obtenidas de la segunda ley de Newton, despeje el ángulo.
a) En equilibrio, la Segunda Ley de Newton establece:
\begin{equation*}
\sum \vec{F}=\vec{0}.
\end{equation*}
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Para el eje \({y-} \), tenemos:
\begin{equation*}
T \cos \theta – mg = 0,
\end{equation*}
y para el eje \({x-} \), tenemos:
\begin{equation*}
q E – T \sin \theta = 0.
\end{equation*}
Para el sistema de ecuaciones \(2 \times 2 \), despejando \(q \), obtenemos:
\begin{equation*}
q = \frac{mg \tan \theta}{E},
\end{equation*}
que, con valores numéricos, nos da:
\begin{equation*}
q \approx 3.9 \times 10^{-5} \, \text{C}.
\end{equation*}
b) Despejando el ángulo, obtenemos:
\begin{equation*}
\tan \theta = \frac{qE}{mg},
\end{equation*}
donde, aplicando la función arctan a ambos lados de la última ecuación, obtenemos:
\begin{equation*}
\theta \approx 36^\circ.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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a) Necesitamos calcular la carga de la masa colgante. Para abordar este problema, identificaremos todas las fuerzas ejercidas sobre la masa \(m \) y aplicaremos la segunda ley de Newton para resolver las incógnitas. Asumimos que el sistema está en equilibrio, por lo que la aceleración \(\vec{a} \) es cero y la segunda ley de Newton se puede escribir como
\begin{equation}
\sum \vec{F}=m\vec{a},
\end{equation}
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\begin{equation}
\label{newton}
\sum \vec{F}=\vec{0},
\end{equation}
donde \(\sum \vec{F} \) es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre la masa \(m \).
Para identificar las fuerzas y sus direcciones, dibujamos un diagrama de cuerpo libre como el que se muestra en la figura 1.
Figura 1: diagrama de cuerpo libre para la carga \(q \). Las fuerzas ejercidas sobre la masa son el peso \(\vec{W} \), la fuerza eléctrica \(\vec{F} _e \), y la tensión \(\vec{T} \), que se descompone a lo largo del eje Y positivo y el eje X negativo según el ángulo \(\theta \). Observe que, dado que la carga es positiva, la fuerza eléctrica está en la misma dirección que el campo eléctrico \(\vec{E} \).
Por tanto, podemos escribir la ecuación \eqref{newton} como
\begin{equation}
\label{newton2}
\vec{T}+\vec{W}+\vec{F}_e=\vec{0},
\end{equation}
donde \(\vec{T} \) es la tensión ejercida por la cuerda, \(\vec{W} \) es el peso de la masa y \(\vec{F}_e \) es la fuerza eléctrica que se ejerce sobre la masa, que suponemos está cargada positivamente.
La fuerza del peso se dirige hacia el eje Y negativo y tiene una magnitud igual a \(mg \), por lo que podemos escribir
\begin{equation}
\label{weight}
\vec{W}=-mg\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
La tensión \(\vec{T} \) tiene magnitud \(T \), y su dirección está dada por el ángulo \(\theta \). Usando trigonometría, podemos escribir
\begin{equation}
\label{T}
\vec{T}=-T\sin(\theta)\,\hat{\textbf{i}}+T\cos(\theta)\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Finalmente, la fuerza eléctrica está en la misma dirección del campo eléctrico en este caso porque la carga \(q \) es positiva. Su magnitud es \(qE \), donde \(E \) es la magnitud del campo eléctrico
\begin{equation}
\label{eforce}
\vec{F}_e=qE\,\hat{\textbf{i}}.
\end{equation}
Poniendo las expresiones para las fuerzas dadas en las ecuaciones \eqref{weight}, \eqref{T} y \eqref{eforce} en la ecuación \eqref{newton2}, obtenemos
\begin{equation}
\label{newton3}
-T\sin(\theta)\,\hat{\textbf{i}}+T\cos(\theta)\,\hat{\textbf{j}}-mg\,\hat{\textbf{j}}+qE\,\hat{\textbf{i}}=\vec{0},
\end{equation}
que se puede escribir como
\begin{equation}
\label{newton4}
\left(-T\sin(\theta)+qE\right)\,\hat{\textbf{i}}+\left(T\cos(\theta)-mg\right)\,\hat{\textbf{j}}=\vec{0}.
\end{equation}
Para que la ecuación anterior sea consistente, los componentes X y Y deben ser iguales a cero por separado. Centrándonos en la magnitud de los componentes a lo largo del eje X en la ecuación \eqref{newton4}, obtenemos
\begin{equation}
\label{Fx}
-T\sin(\theta)+qE=0,
\end{equation}
mientras que para el eje Y obtenemos
\begin{equation}
\label{Fy}
T\cos(\theta)-mg=0.
\end{equation}
De la ecuación \eqref{Fy}, podemos despejar \(T \) para obtener
\begin{equation}
\label{tension}
T=\frac{mg}{\cos(\theta)}.
\end{equation}
Al usar este resultado en la ecuación \eqref{Fx}, obtenemos
\begin{equation}
-\frac{mg}{\cos(\theta)}\sin(\theta)+qE=0,
\end{equation}
que se simplifica a
\begin{equation}
\label{fy2}
-mg\tan(\theta)+qE=0.
\end{equation}
Despejando \(q \) en la ecuación \eqref{fy2}, obtenemos
\begin{equation}
q=\frac{mg\tan(\theta)}{E}.
\end{equation}
Usando los valores numéricos en unidades SI (\(m = 6 \times10^{-3}\,\text{kg} \) y \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)), obtenemos
\begin{equation}
q=\frac{(6\times10^{-3}\,\text{kg})(9.81\,\text{m/s}^2)\tan(20^{\circ})}{550\,\text{N/C}},
\end{equation}
\begin{equation}
q\approx3.9\times 10^{-5}\,\text{C}.
\end{equation}
b) Si el campo eléctrico ahora es dos veces mayor, es decir \(E = 1100 \, \text{N/C} \), y la carga es la misma que antes, podemos despejar el nuevo ángulo \(\theta \) a partir de la ecuación \eqref{fy2} para obtener
\begin{equation}
mg\tan(\theta)=qE,
\end{equation}
\begin{equation}
\tan(\theta)=\frac{qE}{mg},
\end{equation}
\begin{equation}
\theta=\arctan\left(\frac{qE}{mg}\right),
\end{equation}
Utilizando los valores numéricos dados por el problema y los calculados en el inciso (a), obtenemos
\begin{equation}
\theta=\arctan\left(\frac{(3.9\times 10^{-5}\,\text{C})(1100\,\text{N/C})}{(6\times10^{-3}\,\text{kg})(9.81\,\text{m/s}^2)}\right),
\end{equation}
\begin{equation}
\theta\approx
36^{\circ}.
\end{equation}
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