\({SOS!}\) Un crucero en cuarentena necesita urgentemente suministros, y un helicóptero tiene la tarea de dejar los suministros que tanto necesita. El helicóptero vuela a una altitud de 150 m sobre el nivel del mar y viaja horizontalmente a 100 mph (\(44 \, \text{m} /\text{s} \)). El crucero en cuarentena que se mueve a 22 mph (\(10 \, \text{m} /\text{s} \)) en la misma dirección que el helicóptero, y la altura del barco es de 70 m. El helicóptero necesita dejar caer el paquete de cuidado directamente sobre la cubierta del crucero, por lo que el piloto debe saber exactamente cuánta distancia debe quedar entre el helicóptero y el barco cuando presione el botón rojo de expulsión. Ayude al piloto calculando la distancia necesaria entre el helicóptero y el crucero para asegurar una entrega exitosa.
Si encuentra el tiempo que tarda el paquete en caer desde una altura determinada, puede usarlo para encontrar la distancia con las ecuaciones de movimiento para objetos con velocidad constante.
La ecuación de movimiento para el paquete y el barco en la componente horizontal (X) es:
\begin{equation*}
x=x_i + v_it,
\end{equation*}
donde \(x_i = 0 \) para el paquete si el sistema de coordenadas se coloca encima de él. Y la ecuación de movimiento a lo largo de Y (con velocidad inicial cero) es:
\begin{equation*}
y_p=y_i-\frac{1}{2}gt^2.
\end{equation*}
Despejando \(t\), obtenemos:
\begin{equation*}
t=\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}.
\end{equation*}
Usando las ecuaciones de movimiento en X tanto para el paquete como para el barco y reemplazando \(t \), obtenemos:
\begin{equation*}
x_{i,s}+v_s\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right)=v_i\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right).
\end{equation*}
Despejando \(x_{i,s}\) y usando los valores numéricos:
\begin{equation}
x_{i,s}=(v_i-v_s)\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right) \approx 137.4\,\text{m}.
\end{equation}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
Se nos ha pedido que calculemos la distancia horizontal entre el helicóptero y el barco que se requiere para que se produzca una caída exitosa. Para resolver este problema, debemos usar la ecuación para el movimiento parabólico del paquete y la ecuación para la velocidad constante del barco. Para obtener la ecuación de movimiento del paquete en la dirección horizontal, usaremos el hecho de que la velocidad inicial \(\vec{v} _i \) del paquete es la misma que la velocidad del helicóptero y, por lo tanto, solo va a lo largo del eje horizontal.
Comencemos colocando un sistema de coordenadas al nivel del mar y donde el eje X apunta en la dirección del movimiento del paquete y el barco. Ver figura 1.
Figura 1: Colocamos un sistema de coordenadas al nivel del mar. Indicamos la distancia horizontal \(d\) que debemos encontrar.
Ahora escribamos las ecuaciones de movimiento para el paquete en los ejes X y Y usando el hecho de que la única aceleración está en el eje Y (esta es la aceleración gravitacional \(g \)). Para el eje X, tenemos un movimiento de velocidad constante, por lo que obtenemos
\begin{equation}
x_p\,\hat{\textbf{i}}=x_{i,p}\,\hat{\textbf{i}}+v_it\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
donde \(x_ {i, p} \) y \(x_p \) son la posición inicial del paquete y la posición después del tiempo \(t \), respectivamente (\(x_p \) es lo que necesitamos encontrar para obtener la distancia). Si nos enfocamos solo en las magnitudes y usamos el hecho de que, según nuestro sistema, la posición inicial es cero, obtenemos
\begin{equation}
\label{kinemx}
x_p=v_it.
\end{equation}
Observe que esta ecuación no es suficiente para obtener \(x_p \) porque no tenemos tiempo, por lo que necesitamos encontrar más ecuaciones.
Para el eje Y, el paquete tiene una aceleración constante negativa y ninguna velocidad vertical inicial, ya que el paquete simplemente se deja caer (en lugar de lanzarse). Por lo tanto, obtenemos
\begin{equation}
y_p\,\hat{\textbf{j}}=y_i\,\hat{\textbf{j}}-\frac{1}{2}gt^2\,\hat{\textbf{j}},
\end{equation}
donde \(y_i\) y \(y_p\) son la posición inicial a lo largo del eje Y y la posición después de que haya pasado un tiempo \(t\), respectivamente. Centrándonos solo en las magnitudes, obtenemos
\begin{equation}
\label{kinemy}
y_p=y_i-\frac{1}{2}gt^2.
\end{equation}
Despejando el tiempo \(t\) en la ecuación \eqref{kinemy} , obtenemos
\begin{equation}
\frac{1}{2}gt^2=y_i-y_p.
\end{equation}
Luego,
\begin{equation}
t^2=\frac{2(y_i-y_p)}{g},
\end{equation}
y tomando la raíz cuadrada en ambos lados, finalmente obtenemos
\begin{equation}
\label{time}
t=\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}.
\end{equation}
Este es el tiempo que tarda el paquete en llegar del helicóptero al barco. Usando esta expresión para el tiempo en la ecuación \eqref{kinemx} , obtenemos
\begin{equation}
\label{xp}
x_p=v_i\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right).
\end{equation}
Ahora escribamos la ecuación de movimiento del barco a lo largo del eje X, que es la ecuación para la velocidad constante en línea recta:
\begin{equation}
x_s\,\hat{\textbf{i}}=x_{i,s}\,\hat{\textbf{i}}+v_st\,\hat{\textbf{i}},
\end{equation}
donde \(v_s\) es la rapidez del barco y \(x_{i,s}\) su posición inicial. Si nos enfocamos en las magnitudes, obtenemos
\begin{equation}
x_s=x_{i,s}+v_st.
\end{equation}
Nos interesa la posición del barco después de que ha pasado tiempo \(t \) dado en la ecuación \eqref{time}. Entonces, usando ese tiempo aquí, obtenemos la siguiente expresión para la posición del barco:
\begin{equation}
\label{xs}
x_s=x_{i,s}+v_s\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right).
\end{equation}
La condición para una caída exitosa es que las posiciones a lo largo de X y Y sean las mismas tanto para el paquete como para el barco. Esto significa que
\begin{equation}
x_s=x_p,
\end{equation}
que, después de usar las expresiones explícitas para las posiciones dadas por las ecuaciones \eqref{xp} y \eqref{xs} , se lee como
\begin{equation}
\label{igualdad}
x_{i,s}+v_s\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right)=v_i\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right).
\end{equation}
Observe que de acuerdo con el sistema de coordenadas, \(y_i=150\,\text{m}\) y la posición final del paquete es \(y_p=70\,\text{m}\), que es la altura de la cubierta del barco. De este sistema de coordenadas, también obtenemos que \(x_ {i, s} = d \) (el barco está inicialmente a una distancia horizontal \(d \) del paquete).
Por tanto, podemos simplificar la ecuación \eqref{igualdad} y escribirla en términos de \(d\), nuestra variable desconocida, como
\begin{equation}
d+v_s\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right)=v_i\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right).
\end{equation}
Podemos despejar \(d\) en esta ecuación para obtener
\begin{equation}
d=v_i\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right)-v_s\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right).
\end{equation}
Si factorizamos el término entre paréntesis, esto se convierte en
\begin{equation}
d=(v_i-v_s)\left(\sqrt{\frac{2(y_i-y_p)}{g}}\right).
\end{equation}
Usando los valores numéricos, obtenemos
\begin{equation}
d=(44\,\text{m/s}-10\,\text{m/s})\left(\sqrt{\frac{2(150\,\text{m}-70\,\text{m})}{9.8\,\text{m/s}^2}}\right),
\end{equation}
que es igual a
\begin{equation}
d\approx 137.4\,\text{m}.
\end{equation}
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