Una caja de metal cilíndrica con un radio de 30 cm se llena con aire a una presión de 1 atm y una temperatura de 305 K. La tapa superior es un pistón sin masa que se puede mover verticalmente. ¿A qué temperatura se debe calentar la caja si se coloca un ladrillo de 5 kg en el pistón y se requiere que el pistón esté en equilibrio?
Utilice la segunda ley de Newton y reemplace las fuerzas en términos de presiones. Relacione la presión y la temperatura con la ley de los gases ideales.
La segunda ley de Newton en equilibrio establece:
\begin{equation*}
\sum F = 0,
\end{equation*}
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donde en este caso para el pistón es:
\begin{equation*}
F_{\text{in}} – F_{\text{out}} – Mg = 0.
\end{equation*}
Dado que la fuerza en términos de presión y área es \(F = PA\), entonces reemplazando las fuerzas y despejando \(P_f\) obtenemos:
\begin{equation*}
P_f=P_0+\frac{Mg}{A}.
\end{equation*}
Por la ley de los gases ideales \(PV = nRT\), podemos relacionar los estados como:
\begin{equation*}
\frac{n_0RT_0}{P_0}=\frac{n_fRT_f}{P_f},
\end{equation*}
donde despejando \(T_f\) y reemplazando \(P_f\) obtenemos:
\begin{equation*}
T_f=\frac{P_0+\frac{Mg}{A}}{P_0}T_0.
\end{equation*}
Reemplazando los valores numéricos tenemos:
\begin{equation*}
T_f= 305.53 \, \text{K}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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Necesitamos encontrar la temperatura a la que debe estar la caja para que el pistón esté en equilibrio con un ladrillo de 5 kg encima. Para abordar este problema, debemos ver la condición inicial, sin el ladrillo, y hacer un diagrama de cuerpo libre . Luego, debemos hacer lo mismo para el caso en el que el ladrillo esté encima del cilindro y de allí obtener una expresión para la presión necesaria dentro de la caja. Luego, a través de la ley de los gases ideales, podemos relacionar la presión y la temperatura para encontrar la respuesta.
Primero echemos un vistazo al sistema sin el ladrillo, como se ve en la figura 1.
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Figura 1: Pistón en equilibrio. La presión en el interior debe ser la misma que la presión en el exterior para alcanzar este equilibrio. Suponemos que el peso del pistón es insignificante.
La presión inicial \(P_0\) debe ser la misma dentro y fuera de la caja para que el pistón sea estático. Supongamos que tienen diferentes presiones y llegan a la misma conclusión a través de la segunda ley de Newton. Llamemos a la presión dentro de la caja \(P_{\text{in}}\) y la presión exterior \(P_{\text{out}}\). Si usamos la relación entre la fuerza \(F\), el área transversal \(A\) y la presión \(P\), se lee
\begin{equation}
\label{pressure}
F=PA,
\end{equation}
podemos escribir la segunda ley de Newton para el eje Y (centrándonos en las magnitudes) como
\begin{equation}
\label{2law}
F_{\text{in}}-F_{\text{out}}=ma,
\end{equation}
donde \(m\) es la masa del pistón y \(a\) su aceleración. Las fuerzas \(F_{\text{in}}, \,F_{\text{out}}\) son las asociadas a las presiones \(P_{\text{in}}, \,P_{\text{out}}\) respectivamente. Luego, usando la relación dada en la ecuación \eqref{pressure} en la ecuación \eqref{2law} , obtenemos
\begin{equation}
\label{2law2}
P_{\text{in}}A-P_{\text{out}}A=ma,
\end{equation}
como el pistón es estático \(a=0\) entonces la ecuación \eqref{2law} se convierte en
\begin{equation}
P_{\text{in}}A-P_{\text{out}}A=0,
\end{equation}
donde podemos cancelar el área \(A\) y deducir que
\begin{equation}
P_{\text{in}}=P_{\text{out}}.
\end{equation}
Cuando coloquemos el ladrillo encima del pistón, tendremos la situación que se muestra en la figura 2.
Figura 2: Colocamos el sistema de coordenadas de manera que el eje Y positivo apunte hacia arriba. Con el ladrillo encima del pistón, la presión dentro del cilindro debe aumentar para tener equilibrio mecánico. La presión exterior sigue siendo la atmosférica \(P_0\).
Claramente, la presión atmosférica en el exterior no cambia, todavía es \(P_0\). El ladrillo ejerce una fuerza en el cilindro, que está hacia abajo y es igual al peso del ladrillo. Para que el pistón esté en equilibrio, la presión dentro de la caja debe aumentar. Escribiendo la segunda ley de Newton para el eje Y (centrándonos en las magnitudes)
\begin{equation}
\label{2law3}
F_{\text{in}}-F_{\text{out}}-Mg=ma,
\end{equation}
donde \(M\) es la masa del ladrillo y \(g\) es la aceleración gravitacional de la Tierra. Una vez más, podemos usar la relación entre fuerza y presión dada por la ecuación \eqref{pressure} para reescribir la ecuación \eqref{2law3} como
\begin{equation}
\label{2law4}
P_fA-P_0A-Mg=ma,
\end{equation}
donde \(P_f\) es la presión final dentro de la caja cuando el gas en el interior se calienta de manera que el pistón no se mueve. Debido a esto, \(a=0\), la ecuación \eqref{2law4} se simplifica a
\begin{equation}
P_fA-P_0A-Mg=0,
\end{equation}
donde podemos resolver para \(P_f\), de la siguiente manera
\begin{equation}
P_fA=P_0A+Mg,
\end{equation}
y dividiendo ambos lados por \(A\), obtenemos
\begin{equation}
\label{pf1}
P_f = P_0 + \ frac{Mg}{A}.
\end{equation}
Así, hemos obtenido una expresión para la presión dentro de la caja tal que se cumpla la condición de que el pistón no se mueva. Ahora, debemos relacionar esta presión con la temperatura del gas dentro de la caja. Para hacer esto, debemos usar el hecho de que el volumen inicial \(V_i\) y el volumen final \(V_f\) es el mismo (donde los estados inicial y final se refieren a antes y después de poner el ladrillo encima, respectivamente ). El volumen no cambia porque el pistón no se mueve, entonces podemos escribir
\begin{equation}
\label{samev}
V_0=V_f.
\end{equation}
Ahora usamos la ley de los gases ideales que relaciona la presión \(P\), el volumen \(V\), la temperatura absoluta \(T\), el número de moles \(n\) a través de la constante del gas ideal \(R\), la ecuación dice
\begin{equation}
PV=nRT
\end{equation}
para resolver el volumen como
\begin{equation}
\label{volume}
V=\frac{nRT}{P}.
\end{equation}
Si usamos la ecuación \eqref{volume} en ambos lados de la ecuación \eqref{samev} con el subíndice apropiado, obtenemos
\begin{equation}
\label{iguala}
\frac{n_0RT_0}{P_0}=\frac{n_fRT_f}{P_f}.
\end{equation}
El número de moles no cambia, entonces \(n_0=n_f\). Cancelando el número de moles y la constante \(R\), podemos simplificar la ecuación \eqref{iguala} en
\begin{equation}
\frac{T_0}{P_0}=\frac{T_f}{P_f}.
\end{equation}
Resolviendo para \(T_f\), obtenemos
\begin{equation}
\label{pf2}
T_f=\frac{P_f}{P_0}T_0.
\end{equation}
Usando la expresión para \(P_f\) dada en \eqref{pf1} en la ecuación \eqref{pf2} , finalmente obtenemos
\begin{equation}
\label{ecfinal}
T_f=\frac{P_0+\frac{Mg}{A}}{P_0}T_0.
\end{equation}
Para calcular \(T_f\) explícitamente, primero debemos calcular el área transversal \(A\). Debido a que la caja es cilíndrica, entonces su área transversal es circular con radio \(r=30\,\text{cm}=0.3\,\text{m}\), el área es
\begin{equation}
A=\pi r^2=\pi (0.3\,\text{m})^2\approx 0.28\,\text{m}^2.
\end{equation}
También debemos cambiar las unidades de \(P_0\) de atm a Pa para que podamos sumar todos los términos. Luego,
\begin{equation}
P_0=1\,\text{atm}=101325\,\text{Pa}.
\end{equation}
Ahora, poniendo todo junto en la ecuación \eqref{ecfinal} , obtenemos
\begin{equation}
T_f=\frac{101325\,\text{Pa}+\frac{(5\,\text{kg})(9.81\,\text{m/s}^2)}{0.28\,\text{m}^2}}{101325}(305\,\text{K}),
\end{equation}
\begin{equation}
T_f=305.53\,\text{K}.
\end{equation}
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