Stefano está martillando un clavo de aluminio de 12 g con un martillo de 2,3 kg. Cuando el martillo está a punto de tocar el clavo, tiene una rapidez de 8,5 m/s y \(10\%\) de la energía cinética del martillo se transfiere al clavo en forma de calor. ¿Cuánto aumentará la temperatura del clavo si Stefano la golpea 22 veces? Considere que el calor específico del aluminio es \(900 \text{J /kg} {}^\circ \text{C}\)
Utilice la conservación de la energía con el calor como múltiplo de la energía cinética. Resuelva para el cambio de temperatura y multiplique por el número de golpes.
La energía cinética \(K\) del martillo se puede escribir como:
\begin{equation*}
K=\frac{1}{2}Mv^2,
\end{equation*}
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y el calor absorbido por el clavo es:
\begin{equation*}
Q = mc \Delta T.
\end{equation*}
La conservación de energía para este caso se puede escribir como:
\begin{equation*}
0.1\frac{1}{2}Mv^2=mc\Delta T.
\end{equation*}
Resolviendo \(\Delta T\) y con valores numéricos obtenemos:
\begin{equation*}
\Delta T \approx 0.77\,{}^{\circ}\text{C},
\end{equation*}
y tras 22 golpes obtenemos:
\begin{equation*}
\Delta T_{\text{total}} \approx 17\,{}^{\circ}\text{C}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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El problema nos pide que encontremos la diferencia entre la temperatura final y la temperatura inicial del clavo si es golpeado por el martillo 22 veces. Lo primero que debemos hacer es encontrar la energía cinética del martillo justo antes de que golpee el clavo. Luego, \(10\%\) de esta energía se transfiere al clavo en forma de calor. Con la masa, el material y la cantidad de calor transferido al clavo, es posible encontrar el cambio de temperatura por golpe. Multiplicar el resultado por el número de golpes nos dará el aumento total de temperatura.
Para encontrar la energía cinética \(K\) del martillo, usamos la definición de energía cinética, es decir,
\begin{equation}
\label{kinener}
K=\frac{1}{2}Mv^2,
\end{equation}
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donde \(M\) es la masa del martillo y \(v\) es su velocidad . Ahora, la cantidad de calor transferido al clavo \(Q\) es el \(10\%\) de esta energía cinética, por lo que podemos escribir
\begin{equation}
Q=0.1K,
\end{equation}
o usando la ecuación \eqref{kinener}
\begin{equation}
\label{qtran}
Q = 0,1 \ frac{1}{2}Mv^2.
\end{equation}
El calor absorbido por el clavo \(Q\) cambia su temperatura \(T\) según la siguiente expresión
\begin{equation}
\label{mcdt}
Q=mc\Delta T,
\end{equation}
donde \(m\) es la masa del clavo, \(c\) es el calor específico del aluminio y \(\Delta T\) es el cambio de temperatura del clavo.
La expresión de ecuaciones \eqref{qtran} y \eqref{mcdt} debe ser igual porque todo el calor transferido al clavo se utiliza en el cambio de temperatura, por lo que
\begin{equation}
\label{deltaT}
0.1\frac{1}{2}Mv^2=mc\Delta T.
\end{equation}
Resolviendo para \(\Delta T\) en la ecuación \eqref{deltaT} , obtenemos
\begin{equation}
\Delta T=0.1\frac{Mv^2}{2mc}.
\end{equation}
Usando los valores numéricos, tenemos
\begin{equation}
\label{result}
\Delta T=0.1\frac{(2.3\,\text{kg})(8.5\,\text{m/s})^2}{2(12 \times 10^{-3}\,\text{kg})(900 \,\text{J/kg }\,{}^{\circ}\text{C})}\approx 0.77\,{}^{\circ}\text{C},
\end{equation}
que es el cambio de temperatura por golpe. Si queremos encontrar el cambio total de temperatura después de los 22 golpes, debemos multiplicar el resultado en la ecuación \eqref{result} por 22; explícitamente,
\begin{equation}
\Delta T_{\text{total}}=22\Delta T=22(0.77\,{}^{\circ}\text{C})\approx 17\,{}^{\circ}\text{C}.
\end{equation}
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