Un bloque de plomo de 2 kg con una temperatura de \(300\,^{\circ}\text{C}\) se inserta en un tanque de agua de 4 kg a \(20\,^{\circ}\text{C} \). Calcule la temperatura de equilibrio final del sistema.
Utilice calorimetría para resolver la temperatura final.
La cantidad de calor requerida para que un objeto aumente su temperatura viene dada por:
\begin{equation*}
Q = m c (T_f – T_i),
\end{equation*}
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donde en este caso el intercambio de calor para los dos objetos involucrados (el agua y el bloque de plomo) se puede escribir como:
\begin{equation*}
Q_w + Q_b = 0.
\end{equation*}
Todos los objetos tendrán la temperatura final como \(T_f\). Escribiendo cada calor como la primera ecuación y despejando \(T_f\) después de mucho álgebra obtenemos:
\begin{equation}
T_f = \frac{m_w c_w T_{iw} + m_b c_b T_{ib}}{m_w c_w + m_b c_b}.
\end{equation}
Con valores numéricos obtenemos:
\begin{equation*}
T_f = 24.29 \, ^{\circ} \text{C}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
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Cuando el bloque y el agua entren en contacto, habrá una transferencia neta de calor del bloque al agua hasta que alcancen el equilibrio térmico. Para encontrar la temperatura final del sistema, necesitamos relacionar el calor irradiado por el bloque con el calor absorbido por el agua. Luego, podemos relacionar el calor con el cambio de temperatura del bloque de plomo y el agua usando el calor específico de cada material y sus masas.
Asumiremos que el sistema compuesto por el bloque de plomo y el tanque de agua está aislado. Esto implica que no hay intercambio de calor con el entorno. Podemos escribir esto matemáticamente como
\begin{equation}
\label{EQ:1}
Q = 0,
\end{equation}
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donde \(Q\) representa el calor intercambiado por todos los componentes del sistema. Está compuesto por el calor transferido por el tanque de agua \(Q_w\) y el calor transferido por el bloque de plomo \(Q_b\). Podemos escribir esto como
\begin{equation}
Q = Q_w + Q_b,
\end{equation}
y de \eqref{EQ:1}
\begin{equation}
\label{EQ:2}
Q_w + Q_b = 0.
\end{equation}
Intuitivamente, esta ecuación dice que, dado que el sistema está aislado, todo el calor liberado por el bloque de plomo es absorbido por el agua.
Ahora, necesitamos relacionar el calor transferido por cada componente con su cambio de temperatura. Más específicamente, necesitamos saber cuánto una determinada cantidad de calor intercambiada por cada componente provoca un cambio en su temperatura. Esto está influenciado por la masa de cada componente (los materiales más masivos requieren más calor para cambiar su temperatura) y el calor específico, que es una propiedad de cada material (algunos materiales son más fáciles de aumentar o disminuir su temperatura que otros). La ecuación que relaciona todas estas cantidades viene dada por
\begin{equation}
Q = m c (T_f – T_i)
\end{equation}
donde \(m\) es la masa del material, c es su calor específico, \(T_f\) es la temperatura después del intercambio de calor y \(T_i\) es la temperatura antes del intercambio de calor. Para el agua, podemos escribir esta ecuación como
\begin{equation}
Q_w = m_w c_w (T_{fw} – T_{iw})
\end{equation}
donde \(m_w\) es la masa de agua, \(c_w\) es el calor específico del agua y \(T_{fw}\) y \(T_{iw}\) son las temperaturas del agua en el tanque después y antes del intercambio de calor, respectivamente. Podemos escribir una ecuación equivalente para el bloque de plomo
\begin{equation}
Q_b = m_b c_b (T_{fb} – T_{ib})
\end{equation}
Tenga en cuenta que tanto para el bloque como para el agua, conocemos sus masas, sus calores específicos (podemos buscarlos en Google) y sus temperaturas iniciales. Las únicas variables desconocidas son sus temperaturas finales, \(T_{fb}\) y \(T_{fw}\) respectivamente.
Ahora, si reemplazamos estas dos ecuaciones en los términos \(Q_b\) y \(Q_w\) de la ecuación. \eqref{EQ:2} obtenemos
\begin{equation}
\label{EQ:3}
m_w c_w (T_{fw} – T_{iw}) + m_b c_b (T_{fb} – T_{ib}) = 0.
\end{equation}
Cuando el sistema alcance el equilibrio térmico, ambos componentes estarán a la misma temperatura. En otras palabras, sus temperaturas finales serán las mismas. Sea \(T_{f}\) la temperatura final tanto del agua como del bloque; por tanto,
\begin{equation}
T_f = T_{fb} = T_{fw}.
\end{equation}
reemplazando \(T_{fb}\) y \(T_{fw}\) en \eqref{EQ:3} por \(T_f\), obtenemos
\begin{equation}
m_w c_w (T_f – T_{iw}) + m_b c_b (T_f – T_{ib}) = 0.
\end{equation}
Tenemos que resolver esta ecuación para \(T_f\). Primero, podemos distribuir los productos obteniendo
\begin{equation}
m_w c_w T_f – m_w c_w T_{iw} + m_b c_b T_f – m_b c_b T_{ib} = 0.
\end{equation}
Después de reordenar la ecuación para que los términos que tienen \(T_f\) estén en el mismo lado de la ecuación, obtenemos
\begin{equation}
m_ wc_w T_f + m_b c_b T_f = m_w c_w T_{iw} + m_b c_b T_{ib},
\end{equation}
y después de factorizar \(T_f\), obtenemos
\begin{equation}
(m_w c_w + m_b c_b)T_f = m_w c_w T_{iw} + m_b c_b T_{ib}
\end{equation}
Finalmente, podemos dividir en ambos lados por \((m_w c_w + m_b c_b)\) para obtener
\begin{equation}
T_f = \frac{m_w c_w T_{iw} + m_b c_b T_{ib}}{m_w c_w + m_b c_b}.
\end{equation}
Si buscamos los valores de los calores específicos, obtenemos que el calor específico del agua es aproximadamente \(4180 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\, ^{\circ}\text{C}}\), y el calor específico del plomo es \(130 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\, ^{\circ}\text{C}}\). Después de sustituir este y los demás valores numéricos, obtenemos
\begin{equation}
T_f = \frac{\left(4 \ \text{kg}\right)\left(4180 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\, ^{\circ}\text{C}}\right)\left(20 \ \text{C}\right) + \left(2\ \text{kg}\right)\left(130 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\, ^{\circ}\text{C}}\right)\left(300\, ^{\circ} \text{C}\right)}{\left( 4 \ \text{kg}\right)\left(4180 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\, ^{\circ}\text{C}}\right) + \left(2\text{kg}\right)\left(130 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\, ^{\circ}\text{C}} \right)}
= 24.29\, ^{\circ} \text{C}
\end{equation}
Observe que la temperatura final estuvo mucho más cerca de la temperatura inicial del agua que de la temperatura inicial del bloque de plomo. Esto es consistente con el hecho de que el calor específico del agua es mucho más alto que el calor específico del plomo y, por lo tanto, tiene un cambio de temperatura mucho menor para una determinada cantidad de calor transferido a ella.
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