Bloque de hielo en una colina

Podemos obtener una expresión para la masa de hielo que se derrite relacionando el calor absorbido por el bloque de hielo con su calor latente de fusión. El calor absorbido por el hielo es igual al trabajo realizado por la fuerza de fricción. Para encontrar la fuerza de fricción, debemos aplicar la segunda ley de Newton en el bloque de hielo.

El bloque de hielo está en \(0\, ^{\circ}\text{C}\), que es el punto de fusión del agua. A esta temperatura, el calor absorbido por el agua se utilizará para pasar a la fase líquida. La temperatura no aumentará hasta que todo el hielo se haya derretido. La masa de hielo que se derrite \(m_m\) se puede relacionar con el calor absorbido por el hielo \(Q\) usando la siguiente ecuación:

\begin{equation}
\label{EQ:latent}
Q = m_m L_f,
\end{equation}

donde \(L_f\) es el calor latente de fusión del agua, que representa cuánto calor se requiere para convertir una determinada masa de hielo en agua líquida.

Ahora, se nos dice que todo el trabajo realizado por la fuerza de fricción, \(W_f\), se disipa en forma de calor, que es absorbido por el cubo de hielo. Podemos escribir esto como

\begin{equation}
|W_f| = Q,
\end{equation}

y sustituyendo en la ecuación \eqref{EQ:latent} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:latent2}
|W_f| = m_m L_f.
\end{equation}

Ahora deberíamos encontrar una expresión para \(W_f\). Recuerde que el trabajo \(W_F\) realizado por una fuerza \(\vec{F}\) sobre un objeto mientras se mueve una distancia \(x\) en línea recta está dado por

\begin{equation}
W_F = F x \cos \theta,
\end{equation}

donde theta es el ángulo entre \(\vec{F}\) y el vector de desplazamiento \(\vec{x}\) (es decir, el vector que apunta desde el punto inicial hacia el punto final del desplazamiento cuya magnitud es igual a la distancia recorrida por el objeto). En nuestro caso particular, podemos escribir esta ecuación como

\begin{equation}
W_f = f x \cos \theta,
\end{equation}

donde \(f\) es la magnitud de la fuerza de fricción. La siguiente figura muestra las direcciones de \(\vec{f}\) y \(\vec{x}\). Podemos notar que son antiparalelos. Por lo tanto, \( \theta = 180 ^{\circ}\), y \(\cos \theta = -1\). Por lo tanto,

\begin{equation}
\label{EQ:wf}
W_f = f x (-1) = -f x.
\end{equation}

Colocamos nuestro sistema de coordenadas en la parte inferior de la colina con el eje X paralelo a la inclinación de la colina. La altura \(h\) del bloque y la distancia recorrida a lo largo de la colina \(\vec{x}\) también se muestran. La fuerza de fricción \(\vec{f}\) es paralela al eje X a lo largo de su dirección negativa.

Además, observe que en esta figura podemos escribir la distancia \(x\) (que no conocemos) en términos de \(h\) y la pendiente \(\alpha\) como

\begin{equation}
\sin \alpha = \frac{h}{x}.
\end{equation}

Si multiplicamos por \(x\), obtenemos

\begin{equation}
x \sin \alpha = h,
\end{equation}

y si dividimos por \(\sin \alpha\), obtenemos

\begin{equation}
x = \frac{h}{\sin \alpha}.
\end{equation}

Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:wf} , obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:wf2}
W_f = \frac{f h }{\sin \alpha}.
\end{equation}

Ahora, para encontrar la magnitud de la fuerza de fricción \(f\), necesitamos usar la segunda ley de Newton. El diagrama de cuerpo libre del cubo de hielo se muestra en la siguiente figura.

diagrama de cuerpo libre para el bloque de hielo. Las tres fuerzas ejercidas sobre el bloque: la fuerza normal \(\vec{N}\), la fricción \(\vec{f}\) y el peso \(\vec{W}\).

En esta figura, \(\vec{f}\) es la fricción, \(\vec{N}\) es la fuerza normal ejercida por la superficie sobre el bloque, y \(\vec{W}=m\vec{g}\) es el peso del bloque de hielo. La fuerza de fricción está relacionada con la fuerza normal como

\begin{equation}
\vec{f} = \mu \vec{N},
\end{equation}

donde \(\mu\) es el coeficiente cinético de fricción. Centrándonos solo en las magnitudes, obtenemos

\begin{equation}
\label{EQ:f}
f = \mu N.
\end{equation}

Se nos da \(\mu\), por lo que deberíamos encontrar \(N\). Según la figura anterior, \(N\) está en el eje \(y\). Podemos escribir la segunda ley de Newton a lo largo de este eje como

\begin{equation}
\label{EQ:n2l}
N – mg_y = ma_y,
\end{equation}

donde \(m\) es la masa del cubo de hielo, \(mg_y\) representa el componente del peso a lo largo del eje \(y\) , y \(a_y\) representa la aceleración en la dirección \(y\) . El bloque solo se mueve cuesta abajo a lo largo del eje \(x\) . Por lo tanto,

\begin{equation}
a_y = 0.
\end{equation}

Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:n2l} , obtenemos

\begin{equation}
N – mg_y = 0.
\end{equation}

Ahora, note de la figura anterior que podemos escribir \(mg_y\) como

\begin{equation}
mg_y = mg \cos\alpha.
\end{equation}

Entonces,

\begin{equation}
N – mg \cos\alpha = 0,
\end{equation}

o equivalentemente

\begin{equation}
N = mg\cos\alpha.
\end{equation}

Sustituyendo esto en la ecuación. \eqref{EQ:f} obtenemos

\begin{equation}
f = \mu mg \cos\alpha.
\end{equation}

Ahora tenemos una expresión para la fuerza de fricción en términos de variables conocidas. Si lo sustituimos en la ecuación. \eqref{EQ:wf2} , encontramos que el trabajo realizado por la fuerza de fricción está dado por

\begin{equation}
W_f =\frac{- (\mu mg \cos\alpha) h}{\sin\alpha}
= – \mu mg h \cot\alpha.
\end{equation}

Sustituyendo esta expresión en la ecuación. \eqref{EQ:latent2} se cumple que

\begin{equation}
|-\mu m g h \cot\alpha| = m_m L_f,
\end{equation}

o equivalentemente

\begin{equation}
m \mu g h \cot\alpha = m_m L_f.
\end{equation}

Si dividimos por \(m L_f\), obtenemos

\begin{equation}
\frac{m_m}{m}= \frac{\mu g h \cot\alpha}{L_f},
\end{equation}

que es la fracción de masa de hielo que se derritió a medida que se movía cuesta abajo. Insertando valores numéricos, obtenemos

\begin{equation}
\frac{m_m}{m} = \frac{(0.3)( 9.8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}) (15 \ \text{m}) \cot(30 ^{\circ})}{333500\ \frac{\text{J}}{\text{kg}}}
= 2.3 \times 10^{-4}.
\end{equation}

Solo el \(0.023\%\) del hielo se derrite en estas condiciones.