¡El fantasma de la caja!

Gire los ejes para hacer que uno de los ejes apunte en la dirección del movimiento. Encuentre la aceleración con una ecuación cinemática que relacione las velocidades con la aceleración, y los diagramas de cuerpo libre le darán las ecuaciones necesarias para resolver el problema.

La segunda ley de Newton, basada en el diagrama de cuerpo libre conel eje rotado \({y-} \) da:

\begin{equation*}
N-mg \cos \theta=0.
\end{equation*}

La segunda ley de Newton, basada en el eje rotado \({x-} \) da:

\begin{equation*}
mg \sin \theta – f_r=m a_x,
\end{equation*}

donde \(f_r = \mu N = \mu mg \cos \theta\). Para \(a_x \) podemos usar:

\begin{equation*}
a_x = \frac{v_f – v_i}{t}.
\end{equation*}

Sustituyendo \(a \) y \(f_r \) en la ecuación a lo largo de \({x-} \) eje, y despejando \(\mu \) con algo de álgebra, obtenemos:

\begin{equation*}
\mu = – \frac{v_f}{t g \cos \theta} + \tan \theta.
\end{equation*}

Al introducir valores numéricos se obtiene:

\begin{equation*}
\mu = 0.56.
\end{equation*}

Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.

Para determinar el coeficiente de fricción dinámica, necesitamos encontrar una relación entre ese coeficiente y las otras variables que conocemos. Observe que el coeficiente de fricción determina parcialmente la fuerza de fricción, y la fuerza de fricción juega un papel en la aceleración del bloque a lo largo del plano inclinado (podemos encontrar fácilmente esta aceleración porque conocemos las velocidades inicial y final después de dos segundos). Por lo tanto, para encontrar una relación entre el coeficiente de fricción dinámica y la aceleración, debemos considerar la Segunda Ley de Newton.

Comencemos por hacer el diagrama de cuerpo libre para la caja. Como es habitual en problemas con planos inclinados, utilizaremos un sistema de coordenadas donde el eje X apunta en la dirección del movimiento y donde el eje Y es perpendicular al plano inclinado (este tipo de sistema tiene la ventaja de que la mayoría de los las fuerzas y la aceleración están alineadas con los ejes, por lo que no es necesario encontrar sus componentes).

Figura 1: Elegimos el sistema de coordenadas con el eje X paralelo a la rampa y el eje Y perpendicular a ella.

Hay dos fuerzas a lo largo del eje Y. Una es la fuerza normal, que apunta en la dirección Y positiva, y la otra es la componente Y del peso. A lo largo del eje X, tenemos dos fuerzas, la fuerza de fricción que se opone al movimiento de la caja (y por lo tanto apunta en la dirección X negativa) y la componente X del peso, que apunta en la dirección X positiva. Por tanto, el diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 2.

Figura 2: Diagrama de fuerza de la caja mientras se desliza por la rampa. Las fuerzas que se muestran son la fuerza de contacto con la rampa \(N \), la fuerza de fricción \(f_r \) y el peso \(W \) con sus componentes a lo largo de los ejes X y Y.

Ahora escribimos la segunda ley de Newton en el eje X. Como es claro del diagrama de cuerpo libre, hay dos fuerzas en X, la componente X del peso (positiva en X) y la fricción (negativa en X), por lo que obtenemos

\begin{equation}
W_x \, \hat{\textbf{i}} – f_r \, \hat{\textbf{i}} = m a_x \, \hat{\textbf{i}},
\label{CajaFriccion_fuerzasX}
\end{equation}

donde \(a_x \, \hat {\textbf{i} } \) es la aceleración de la caja, cuya dirección es a lo largo del eje X positivo. Tenemos suficiente información para encontrar esta aceleración porque conocemos el cambio de rapidez después de 2 segundos; sin embargo, encontremos su valor un poco más tarde.

Uno puede ver en el diagrama de cuerpo libre que \(W_x \) está dado por \(W \sin \theta \) (también, recuerde que \(W = mg \)). Y también sabemos que la magnitud de la fuerza cinética de fricción viene dada por \(\mu N \), donde \(N \) es la magnitud de la fuerza normal y \(\mu \) es el coeficiente de fricción dinámica que conocemos. Por tanto, la ecuación \eqref{CajaFriccion_fuerzasX} se convierte en

\begin{equation}
{(mg \sin \theta)}\, \hat{\textbf{i}} – {(\mu N)} \, \hat{\textbf{i}}= m a_x \, \hat{\textbf{i}}.
\label{CajaFriccion_fuerzasXReemplazando}
\end{equation}

Dado que la aceleración en X es constante, esta está dada por

\begin{equation}
\frac{(v_{f} \, \hat{\textbf{i}} – v_i \, \hat{\textbf{i}})}{t} = a_x \, \hat{\textbf{i}},
\end{equation}

donde \(v_f \) es la rapidez final después del tiempo \(t \) y \(v_i \) es la rapidez inicial. Como \(v_i \) es cero porque la caja comienza desde el reposo, obtenemos

\begin{equation}
\frac{v_f}{t} \, \hat{\textbf{i}}= a_x \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Entonces usemos esto en la ecuación \eqref{CajaFriccion_fuerzasXReemplazando}:

\begin{equation}
mg \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} – \mu N \, \hat{\textbf{i}}= m {\frac{v_f}{t}} \, \hat{\textbf{i}}.
\label{CajaFriccion_fuerzasXConAceleracion}
\end{equation}

Ahora, a partir de esta ecuación todavía no podemos encontrar \(\mu \) porque no sabemos \(N \) (pero sabemos \(t \), \(v_f \), \(m \) y \(\theta \)). Por lo tanto, necesitamos escribir la ecuación de fuerza a lo largo del eje Y.

En el eje Y, el bloque está en reposo (solo se mueve a lo largo de X). Además, la fuerza normal es positiva y el componente Y del peso es negativo. Por tanto, la segunda ley de Newton a lo largo del eje Y es

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} – W_y \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\label{CajaFriccion_FuerzasY}
\end{equation}

Pero del diagrama de cuerpo libre , podemos ver que \(W_y \) está dado por \(W \cos \theta \) (y nuevamente, \(W = mg \)). Entonces, la ecuación \eqref{CajaFriccion_FuerzasY} se convierte en

\begin{equation}
N \, \hat{\textbf{j}} – {(mg \cos \theta)} \, \hat{\textbf{j}} = 0 \, \hat{\textbf{j}}.
\end{equation}

Si movemos \(mg \cos \theta \) al otro lado, y si nos enfocamos solo en las magnitudes, encontramos que

\begin{equation}
N = mg \cos \theta.
\label{CajaFriccion_Normal}
\end{equation}

Usemos este resultado en la ecuación \eqref{CajaFriccion_fuerzasXConAceleracion}. Obtenemos que

\begin{equation}
mg \sin \theta \, \hat{\textbf{i}} – \mu {(mg \cos \theta )}\, \hat{\textbf{i}} = m \frac{v_f}{t} \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

La única variable desconocida aquí es \(\mu \). Por lo tanto, dejemos el término con \(\mu \) a la izquierda y movamos los otros términos a la derecha:

\begin{equation}
– \mu mg \cos \theta \, \hat{\textbf{i}}= m \frac{v_f}{t} \, \hat{\textbf{i}}- mg \sin \theta \, \hat{\textbf{i}}.
\end{equation}

Ahora, centrémonos en las magnitudes y dividamos todo por \(- mg \cos \theta \);

\begin{equation}
\mu = – \frac{v_f}{t g \cos \theta} + \tan \theta,
\end{equation}

donde la masa se cancela en todos los términos y donde aprovechamos que \(\sin \theta / \cos \theta= \tan \theta\).

Finalmente, reemplacemos los valores de todos los términos:

\begin{equation}
\mu = – \frac{{(0.2\; \text{m/s})}}{{(2\; \text{s})} {(9.8\; \text{m/s}^2)} \cos {(30^\circ)}} + \tan {(30^\circ)},
\end{equation}

para obtener

\begin{equation}
\mu = 0.56.
\end{equation}

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