Una aventurera intrépida, llamada Bindi-ana Irwin-Jones, quiere llegar al otro lado de un cañón con la ayuda de una \({liana} \), un tipo de enredadera de la jungla. Ella sabe que los músculos de su brazo son capaces de soportar el doble de su peso. Mientras se balancea hacia abajo, alcanza una velocidad de \(7 \, \text{m} /\text{s} \) en el punto más bajo del arco parabólico. ¿Cuál debe ser la longitud mínima de \({liana} \) que la llevará a su objetivo?
Recuerde considerar la aceleración centrípeta para la Segunda Ley de Newton. Está buscando el “radio”.
\(T\) apunta hacia arriba y \(W\) hacia abajo. Conocemos las fuerzas y aceleraciones involucradas en el movimiento de la aventurera, por lo que podemos usar la Segunda Ley de Newton:
\begin{equation*}
\sum \vec{F}=m\vec{a},
\end{equation*}
[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]
la cual es:
\begin{equation*}
-mg+T=m\frac{v^2}{L}.
\end{equation*}
Como \(T = 2 mg \), y despejando \(L \) obtenemos:
\begin{equation*}
L=\frac{v^2}{g},
\end{equation*}
que, con valores numéricos, se da como:
\begin{equation*}
L=5\,\text{m}.
\end{equation*}
Para obtener una explicación más detallada de cualquiera de estos pasos, haga clic en “Solución detallada”.
[/mepr-show]
El problema nos pide que calculemos la longitud de \({liana} \). Observemos primero que la longitud de \({liana} \) \(L \) no cambia, por lo que el centro de masa de la persona describe un movimiento circular de radio \(L \), lo que significa que la persona tendrá cierta aceleración centrípeta. Esta aceleración depende de la rapidez, y conocemos la rapidez en el punto más bajo de la trayectoria. Por lo tanto, utilizando la segunda ley de Newton y una expresión para la aceleración centrípeta (en términos de la velocidad), podremos determinar la longitud de \({liana} \).
Para usar la segunda ley de Newton, comencemos por hacer el diagrama de cuerpo libre.
[mepr-show rules=”4409″ unauth=”both”]
Para dibujar este diagrama, identifiquemos todas las fuerzas. Solo hay dos fuerzas: el peso y la tensión. El peso \(\vec{W} \) se dirige hacia abajo y tiene magnitud \(mg \), donde \(m \) es la masa de la aventurera y \(g \) es la aceleración gravitacional de la Tierra. La tensión \(\vec{T} \) tiene magnitud \(T \) y apunta hacia arriba. Por lo tanto, el diagrama de fuerza se muestra en la Figura 1.
Figura 1: diagrama de cuerpo libre para la aventurera en el punto más bajo de la trayectoria. Las fuerzas ejercidas sobre ella son el peso \(\vec{W} \) y la tensión \(\vec{T} \). El sistema de coordenadas se elige de manera que el eje Y positivo apunte hacia arriba.
Debido a que la aventurera se mueve en un camino circular, experimentará una aceleración centrípeta \(\vec{a} _c \), dirigida hacia el centro de la trayectoria circular en todos los puntos y con magnitud \(\frac{v^2}{L} \), donde \(v \) es la rapidez y \(L \) el radio de la trayectoria. Esto se ilustra en la Figura 2.
Figura 2: velocidad tangente \(\vec{v} \) y aceleración centrípeta \(\vec{a} _c \) en el punto más bajo de la trayectoria de la aventurera.
En la parte más baja de la trayectoria de la aventurera, la aceleración apunta hacia arriba, por lo que podemos escribir una expresión para la aceleración en el punto más bajo:
\begin{equation}
\label{ac}
\vec{a}_c=\frac{v^2}{L}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Como conocemos las fuerzas y aceleraciones involucradas en el movimiento de la aventurera, podemos usar la Segunda Ley de Newton:
\begin{equation}
\label{newton}
\sum \vec{F}=m\vec{a},
\end{equation}
donde \(\sum \vec{F} \) es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre la aventurera y \(\vec{a} \) su aceleración. Como sabemos que las únicas fuerzas son el peso \(\vec{W} \) y la tensión \(\vec{T} \), y la aceleración en este punto es la aceleración centrípeta, podemos escribir la ecuación \eqref{newton} como
\begin{equation}
\vec{W}+\vec{T}=m\vec{a}_c.
\end{equation}
Para continuar observe que, dado nuestro sistema de coordenadas, podemos escribir \(\vec{W} = -mg \, \hat {\textbf{j} } \) y \(\vec{T} = T \, \hat {\textbf{j} } \). Usando las expresiones explícitas para las fuerzas y la aceleración centrípeta \eqref{ac} en la ecuación anterior, obtenemos
\begin{equation}
-mg\,\hat{\textbf{j}}+T\,\hat{\textbf{j}}=m\frac{v^2}{L}\,\hat{\textbf{j}}.
\end{equation}
Ahora podemos eliminar la notación vectorial observando que todas las cantidades están a lo largo del mismo eje:
\begin{equation}
\label{newton2}
-mg+T=m\frac{v^2}{L}.
\end{equation}
Ahora, se nos dice en el enunciado que la aventurera apenas puede sostener la \({liana} \) cuando la fuerza es aproximadamente el doble de su peso, que es \(2 mg \). Porque en el punto más bajo apenas puede sostener el \({liana} \), significa que la tensión ha alcanzado el límite de la fuerza que puede sostener. Entonces, en este punto, tenemos \(T = 2 mg \). Usando este resultado en la ecuación \eqref{newton2} , obtenemos
\begin{equation}
-mg+2mg=m\frac{v^2}{L},
\end{equation}
que se simplifica a
\begin{equation}
mg=m\frac{v^2}{L}.
\end{equation}
Cancelar la masa nos da
\begin{equation}
g=\frac{v^2}{L}.
\end{equation}
Ahora podemos despejar \(L \). Primero, multiplicamos ambos lados por \(L \)
\begin{equation}
gL=v^2.
\end{equation}
Luego, dividimos ambos lados por \(mg \):
\begin{equation}
L=\frac{v^2}{g}.
\end{equation}
Usando los valores numéricos dados en el enunciado, obtenemos
\begin{equation}
L=\frac{(7\,\text{m/s})^2}{9.8\,\text{m/s}^2},
\end{equation}
que nos da
\begin{equation}
L=5\,\text{m}.
\end{equation}
Porlo tanto, el radio de la trayectoria circular, que viene dada por la longitud de \({liana} \), mide 5 metros.
[/mepr-show]
Leave A Comment